Cho tứ diện đều ABCD cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Ôn tập chương 2

Bài 5 trang 50 SGK Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Lời giải:

a) Từ A vẽ AH ⊥ (BCD)

Xét ba tam giác ABH, ACH và ADH có:

AB = AC = AD (vì ABCD là tứ diện đều).

AH chung

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\widehat{AHD}={90}^0$

Suy ra:  ∆ ABH = ∆ ACH = ∆ ADH (ch- cgv)

Suy ra, HB = HC = HD .

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời là trọng tâm tam giác BCD

Gọi I là trung điểm CD. Ta có:

$\begin{array}{l}BI=a.\sin {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2};\\ \Rightarrow BH=\frac{2}{3}BI=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}$

+ Xét tam giác AHB vuông tại H có:

$$\begin{gathered} AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2} \\ =\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \end{gathered}$$

b) Ta có: $h=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

$$\begin{gathered} S_{xq}=2\pi rh=2\pi \frac{a\sqrt{3}}{3}.\text{}\frac{a\sqrt{6}}{3} \\ =\frac{2\pi a^2\sqrt{2}}{3} \end{gathered}$$

Thể tích của khối trụ là:

$$\begin{gathered} V=\pi r^{2}h=\pi .{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2.\frac{a\sqrt{6}}{3} \\ =\frac{\pi a^3\sqrt{6}}{9} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu...

Bài 2 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC)...

Bài 3 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu...

Bài 4 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC...

Bài 6 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình vuông ABCD cạnh a...

Bài 7 trang 50 Toán lớp 12 Hình học: Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r ...