Chứng minh các bất đẳng thức sau

Với giải Bài 4 trang 160 sgk Toán lớp 10 Đại số được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

1 435 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Video Giải Bài 4 trang 160 Toán lớp 10 Đại số

Bài 4 trang 160 Toán lớp 10 Đại số: Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) $5 (x - 1) < x^{5} - 1 < 5 x^{4} (x - 1)$ nếu x – 1 > 0

b) $x^{5} + y^{5} - x^{4} y - x y^{4} \geq 0$ , biết rằng $x + y \geq 0$

c) $\sqrt{4 a + 1} + \sqrt{4 b + 1} + \sqrt{4 c + 1} < 5$ , biết rằng a, b, c cùng lớn hơn $\frac{- 1}{4}$ và a + b + c = 1.

Lời giải

a) Ta có: x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

Lại có: x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x⁵ > x⁴ > x³ > x² > x > 1

⇒ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴

hay 5 < x⁴ + x³ + x² + x + 1 < 5x⁴

⇒ 5.(x – 1) < (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1) < 5x⁴.(x – 1)

hay 5.(x – 1) < x⁵ – 1 < 5x⁴.(x – 1) (đpcm)

b) x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ = (x⁵ - x⁴y) - (xy⁴ - y⁵)

= x⁴.(x – y) – y⁴.(x – y)

= (x⁴ – y⁴).(x – y)

= (x² + y²)(x² – y²)(x – y)

= (x² + y²).(x + y)(x – y)(x – y)

= (x² + y²)(x + y)(x – y)²

Mà x² + y² ≥ 0; x + y ≥ 0; (x – y)² ≥ 0

⇒ x⁵ + y⁵ – x⁴y – xy⁴ ≥ 0.

c) Ta có: $a > \frac{- 1}{4} \Leftrightarrow 4 a > - 1 \Leftrightarrow 4 a + 1 > 0$

Tương tự. 4b +1 >0 và 4c +1 > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt{4 a + 1}$ và 1 ta có:

$\sqrt{4 a + 1} = \sqrt{4 a + 1} .1 \leq \frac{4 a + 1 + 1}{2} = 2 a + 1$

Chứng minh tương tự ta có:

$\sqrt{4 b + 1} \leq \frac{4 b + 1 + 1}{2} = 2 b + 1$

$\sqrt{4 c + 1} \leq \frac{4 c + 1 + 1}{2} = 2 c + 1$

Do đó,

$= 2 (a + b + c) + 3 = 2.1 + 3 = 5$

Dấu “=” xảy ra khi

$\{\begin{cases} 4 a + 1 = 1 \\ 4 b + 1 = 1 \\ 4 c + 1 = 1 \\ a, b, c \geq \frac{- 1}{4} \\ a + b + c = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b = c = 0 \\ a + b + c = 1 \end{cases}$