Tam giác ABC có $AB=c,BC=a,CA=b$. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức $b\left(b^2-a^2\right)=c\left(a^2-c^2\right)$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ bằng bao nhiêu độ?

Đáp án đúng là: C

*Lời giải:

Theo định lí hàm cosin, ta có:  $\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}$.

Mà $b\left(b^2-a^2\right)=c\left(a^2-c^2\right)$ $\iff b^3-a^{2}b=a^{2}c-c^3$

$\iff -a^2\left(b+c\right)+\left(b^3+c^3\right)=0$

$\iff \left(b+c\right)\left(b^2+c^2-a^2-bc\right)=0$

$\iff b^2+c^2-a^2-bc=0$ (do $b>0,c>0$)

$\iff b^2+c^2-a^2=bc$

Khi đó, $\cos \widehat{BAC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}=60°$.

*Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý cosin trong tam giác:

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a² = b² + c² – 2bccosA,

b² = c² + a² – 2cacosB,

c² = a² + b² – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,

cosB = $\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$,

cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

*Các dạng bài tập về giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ:

- Từ định nghĩa  ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\alpha \ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\alpha \ne 0°\mathrm{và}\alpha \ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{(}\alpha \notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

- Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng ${180}^o$. Cho góc $\alpha$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng ${90}^o$. Cho góc $\alpha$ ta có:

- Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, khi đó góc $\widehat{AOB}$ ($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$) là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Kí hiệu: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác :

- Chú ý:

Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó:

a² = b² + c² – 2bccosA,

b² = c² + a² – 2cacosB,

c² = a² + b² – 2abcosC.

Lưu ý:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,

cosB = $\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$,

cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Khi đó:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Lưu ý:

a = 2RsinA,

b = 2RsinB,

c = 2RsinC.

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Dạng 3: Chứng minh, rút gọn một biểu thức lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác, hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức lượng giác hay chứng minh một đẳng thức lượng giác ( bằng cách chứng minh hai vế bằng nhau hoặc từ đẳng thức đã cho biến đổi về một đẳng thức được công nhận là đúng).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác 

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất