Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Đẳng thức nào sau đây sai?

Đáp án đúng là: C

* Lời giải:

Nhận thấy C và D chỉ

 khác nhau về hệ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ nên đáp án sai rơi vào C hoặc D.

Ta có: ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2$

$={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\left({\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2\right).$

- A đúng, vì:

 ${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$
$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\left({\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2\right).$

$·$ B đúng, vì

 ${\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\left({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2\right).$ 

* Phương pháp giải:

 - xét các câu trả lời:

+ sử dụng các tính chất về tích của hai vectơ:

 +) Tích vô hướng 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và ta có: ${\overrightarrow{a}}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$.

+ sử dụng cả hằng đẳng thức vào bài toán để biến đổi

* Lý thuyết cần nắm thêm về tích vô hướng của hai vectơ:

 - Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ 

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, khi đó góc $\widehat{AOB}$ ($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$) là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Kí hiệu: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$), khi đó tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Chú ý:

+) Khi ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{0}$ ta quy ước: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

+) Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ (), ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

- Các tính chất của tích vô hướng:

- Ứng dụng của tích vô hướng:

+) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ được tính theo công thức: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$

+) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ ( $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$):

$\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

+) Khoảng cách giữa hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$ được tính theo công thức:

$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

CÁC DẠNG TOÁN:

Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ.

Phương pháp giải:

- Tính tích vô hướng: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc đưa hai vectơ về các vectơ vuông góc. Sau đó, áp dụng công thức định nghĩa, tính chất và hằng đẳng thức để tính tích vô hướng của hai vectơ. Đối với hai vectơ biết tọa độ thì tính theo công thức $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2$

- Tính góc giữa hai vectơ: Phân tích vectơ và đưa hai vectơ về chung gốc để tìm góc giữa hai vectơ hoặc dùng công thức: $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, độ dài vectơ.

Phân tích vectơ để biến phép tính độ dài đoạn thẳng thành phép tính tích vô hướng, áp dụng công thức $A{B}^2={\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2={\overrightarrow{AB}}^2$. Nếu đề bài có liên quan đến tọa độ thì áp dụng công thức: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Sách bài tập Toán 10 Bài 6 (Cánh diều): Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 6. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án (Phần 2)