Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Đáp án đúng là: C

Lời giải

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là góc $\widehat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0$(do tam giác ABC đều)

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.cos{60}^0=\frac{a^2}{2}$$\Rightarrow$A đúng

- Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\hat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.cos{120}^0=-\frac{a^2}{2}\Rightarrow$ B đúng.

 Xác định được góc $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$ là góc $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)={120}^0.$

Ta có: AG nằm trên đường trung tuyến cũng chính là đường cao của tam giác đều ABC, ta tính được đường cao, suy ra: AG = $\frac{2}{3}$.a.$\frac{\sqrt{3}}{2}$= $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Tương tự, GB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.cos\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{120}^0=-\frac{a^2}{6}\Rightarrow$C sai.

 Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là góc $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0.$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.cos{30}^0=\frac{a^2}{2}\Rightarrow$D đúng.

*Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận

*Lý thuyết:

- Định nghĩa: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì, ta vẽ hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Khi đó, góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ $0^o$ đến ${180}^o$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

- Kí hiệu góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

- Chú ý: Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$.

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = ${90}^o\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ hoặc $\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = $0^o\iff$ Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

+ Nếu $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ = ${180}^o\iff$ Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Công thức tính góc giữa hai vecto

- Cho hai vectơ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ta có:

$(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\widehat{AOB}$ ($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$ )

- Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ta có:

$$\begin{gathered} \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1+a_2}.\sqrt{b_1+b_2}} \\ \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={90}^o \\ \iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \\ \iff a_1.b_1+a_2.b_2=0 \end{gathered}$$

- Lưu ý: Góc giữa hai vectơ luôn có số đo từ $0^o$ đến ${180}^o$.

Xem thêm

Lý thuyết Vectơ trong không gian– Toán lớp 12 Kết nối tri thức 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian (có đáp án 2024) - Toán 12