Cho biết sinα – cosα = $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$(0° ≤ α, β ≤ 180°). Giá trị của $E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha }$ bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có sinα – cosα = $\frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

$\Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{5}$ (Vì sin²α + cos²α = 1, áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

$\Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{{25}}$

Ta có $E = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {{1^2} - 2.\frac{4}{{25}}} = \frac{{\sqrt {17} }}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.