Cho biết $2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2$, với 0° < α < 90°. Giá trị của cotα bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $2\cos \alpha + \sqrt 2 \sin \alpha = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha = 2 - 2\cos \alpha$

⇒ 2sin²α = (2 – 2cosα)²

⇔ 2(1 – cos²α) = 4 – 8cosα + 4cos²α

⇔ 6cos²α – 8cosα + 2 = 0   (1)

Đặt t = cosα.

Vì 0° < α < 90° nên 0 < t < 1.

Phương trình (1) tương đương với: 6t² – 8t + 2 = 0

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right.$

Vì 0 < t < 1 nên ta nhận $t = \frac{1}{3}$.

Với $t = \frac{1}{3}$, ta có $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

Suy ra ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{9}$

Áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một, ta có:

sin²α + cos²α = 1

$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.$

Vì 0° < α < 90° nên α là góc nhọn.

Do đó sinα > 0.

Vì vậy ta nhận $\sin \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Ta có $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{1}{3}.\frac{3}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.