Vở bài tập Toán 7 Bài 8 (Cánh diều): Đại lượng tỉ lệ nghịch

Giải VBT Toán 7 Bài 8: Đại lượng tỉ lệ nghịch

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Câu 1 trang 62 VBT Toán lớp 7 Tập 1:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức …………. hay …………… (với a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo ……………………

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng ………………………. với y theo ……………………………………………………………………………………………..

Lời giải

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$ hay xy = a (với a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a.  

Câu 2 trang 62 VBT Toán lớp 7 Tập 1:

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng …………………………………………

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng ……………………………….

………………………………………………………………………………….

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃, … của y. Khi đó:

…. × …. = …. × …. = …. × …. = …= a hay $\frac{x_1}{\mathrm{...}}=\frac{x_2}{\mathrm{...}}=\frac{x_3}{\mathrm{...}}=\mathrm{...}=a$;

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{\mathrm{...}}{\mathrm{...}};\frac{\mathrm{...}}{\mathrm{...}}=\frac{y_3}{y_1};\mathrm{...}$.

Lời giải

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ);

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃, … của y. Khi đó:

x₁ × y₁ = x₂ × y₂ = x₃ × y₃ = …= a hay $\frac{x_1}{\frac{1}{y_1}}=\frac{x_2}{\frac{1}{y_2}}=\frac{x_3}{\frac{1}{y_3}}=\mathrm{...}=a$;

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1};\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_3}{y_1};\mathrm{...}$.

II. LUYỆN TẬP

Câu 1 trang 63 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một công nhân theo kế hoạch cần phải làm 1 000 sản phẩm.

a) Gọi x (h) là thời gian người công nhân đó làm và y là số sản phẩm làm được trong 1 giờ. Viết công thức tính y theo x.

b) x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không ? Nếu có, hãy xác định hệ số tỉ lệ.

c) Tính giá trị của y khi x = 10; x = 20; x = 25.

Lời giải

a) Công thức tính y theo x là: $y=\frac{1000}{x}$.

b) Ta có y liên hệ với x theo công thức $y=\frac{1000}{x}$ hay xy = 1 000 nên x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 1 000.

c)

Khi x = 10 thì $y=\frac{1000}{x}=\frac{1000}{10}=100$.

Khi x = 20 thì $y=\frac{1000}{x}=\frac{1000}{20}=50$.

Khi x = 25 thì $y=\frac{1000}{x}=\frac{1000}{25}=40$.

Câu 2 trang 63 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 6 giờ. Nhưng thực tế ô tô đi với vận tốc gấp $\frac{4}{3}$ vận tốc dự định. Tính thời gian ô tô đã đi quãng đường AB.

Lời giải

Gọi t (giờ) là thời gian thực tế ô tô đã đi quãng đường AB.

Vì thực tế ô tô đi với vận tốc gấp $\frac{4}{3}$ vận tốc dự định nên tỉ lệ giữa vận tốc thực tế và vận tốc dự định là $\frac{4}{3}$.

Trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên tỉ lệ giữa thời gian đi thực tế và thời gian dự định là $\frac{3}{4}$. Do đó: t = $\frac{3}{4}$.6 = 4,5 (giờ).

Vậy thời gian thực tế ô tô đã đi quãng đường AB là 4,5 giờ.

Câu 3 trang 63 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một xưởng may có 56 công nhân dự định hoàn thành một hợp đồng trong 21 ngày. Nhưng bên đặt hàng muốn nhận hàng sớm nên xưởng may cần phải hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày. Hỏi xưởng may cần phải tăng thêm bao nhiêu công nhân ? Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

Lời giải

Gọi số công nhân lao động là x (công nhân) và thời gian hoàn thành công việc là y (ngày). Ta có thể tóm tắt đề bài như sau:

Số công nhân (x)	x1 = 56	x2 = ?
Thời gian hoàn thành công việc (y)	y1 = 21	y2 = 14

Ở đó, x₂ là số công nhân làm việc để hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày.

Ta có: Thời gian hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số công nhân theo hệ số tỉ lệ là:

a = x₁ . y₁ = 56 . 21 = 1 176.

Suy ra x₂ . 14 = 1 176. Vì thế x₂ = 1 176 : 14 = 84.

Vậy số công nhân xưởng may cần phải tăng thêm là: 84 – 56 = 28 công nhân.

Câu 4 trang 64 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Có ba bánh răng a, b, c ăn khớp nhau (Hình 4). Số răng của mỗi bánh răng a, b, c theo thứ tự là 24; 18; 12. Cho biết mỗi phút bánh răng c quay được 18 vòng. Tính số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng a và b.

Lời giải

Ta có thể tóm tắt đề bài như sau:

Số răng của bánh răng (x)	x1 = 24	x2 = 18	x3 = 12
Số vòng quanh trong một phút (y)	y1 = ?	y2 = ?	y3 = 18

Ở đó, y₁, y₂ lần lượt là số vòng quay mà bánh răng a, b quay được trong một phút. Do số răng và số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: x₁ . y₁ = x₂ . y₂ = x₃ . y₃ = 12 . 18 = 216.

Do đó, y₁ = 216 : 24 = 9 và y₂ = 216 : 18 = 12.

Vậy số vòng quay trong một phút của mỗi bánh răng a và b lần lượt là 9 vòng và 12 vòng.

III. BÀI TẬP

Câu 1 trang 65 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Giá trị của hai đại lượng x, y được cho bởi bảng sau:

x	3	4	6	8	48
y	32	24	16	12	2

 Hai đại lượng x, y có tỉ lệ nghịch với nhau không ? Vì sao ?

Lời giải

Ta có: xy = 3 . 32 = 4 . 24 = 6 . 16 = 8 . 12 = 48 . 2 = 96.

Vậy hai đại lượng x, y có tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ 96.

Câu 2 trang 65 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 36 thì y = 15.

a) Tìm hệ số tỉ lệ.

b) Viết công thức tính y theo x.

c) Tính giá trị của y khi x = 12; x = 18; x = 60

Lời giải

a) Hệ số tỉ lệ là: a = xy = 36 . 15 = 540.

b) Công thức tính y theo x là: $y=\frac{540}{x}$.

c) Khi x = 12 thì $y=\frac{540}{12}=45$.

Khi x = 18 thì $y=\frac{540}{18}=30$.

Khi x = 60 thì $y=\frac{540}{60}=9$.

Câu 3 trang 65 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Theo dự định, một nhóm thợ có 35 người sẽ xây tòa nhà hết 168 ngày. Nhưng khi bắt đầu làm, có một số người không tham gia được nên nhóm thợ chỉ còn 28 người. Hỏi khi đó nhóm thợ phải mất bao lâu để xây xong tòa nhà ? Giả sử năng suất làm việc của mỗi người là như nhau.

Lời giải

Gọi số thợ tham gia xây tòa nhà là x (người) và thời gian xây trong tòa nhà là y (ngày). Ta có thể tóm tắt đề bài như sau:

Số thợ (x)	x1 = 35	x2 = 28
Thời gian xây xong tòa nhà (y)	y1 = 168	y2 = ?

Ở đó, y₂ là thời gian nhóm thợ gồm 28 người xây xong tòa nhà.

Do thời gian xây xong tòa nhà và số thợ xây là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

x₁.y₁ = x_2.y₂ = 35 . 168 = 5 880.

Do đó, y₂ = 5 880 : 28 = 210.

Vậy nhóm thợ phải mất 210 ngày để xây xong tòa nhà.

Câu 4 trang 66 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Chị Lan định mua 10 bông hoa với số tiền định trước. Nhưng do vào dịp lễ nên giá hoa tăng 25%. Hỏi với số tiền đó, chị Lan mua được bao nhiêu bông hoa ?

Lời giải

Gọi x là số bông hoa mà chị Lan mua được.

Vì giá hoa tăng 25% nên giá hoa thực tế bằng 125% giá hoa trước đó hay tỉ lệ giữa giá hoa thực tế và giá hoa trước đó là $\frac{125}{100}$.

Với cùng một số tiền, số hoa mua được và giá hoa là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên tỉ lệ giữa số hoa mua được thực tế và số hoa mua được dự định là $\frac{100}{125}$.

Vậy thực tế chị Lan mua được: $\frac{100}{125}$ . 10 = 8 bông hoa.

Câu 5 trang 66 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Ở nội dung bơi 400 m nữ tại vòng loại Thế vận hội mùa hè năm 2016, vận động viên Nguyễn Thị Ánh Viên đã về đích với thành tích 4 phút 36 giây 85 (tức là 4 phút và 36,85 giây). (Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Cũng ở nội dung bơi 400 m nữ tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015, Ánh Viên đạt thành tích là 4 phút 38 giây 78 (tức là 4 phút và 38,78 giây). (Nguồn: https://cand.com.vn)

Tính tỉ số giữa tốc độ bơi trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015.

Lời giải

Đổi: 4 phút 36 giây 85 = 276,85 giây; 4 phút 38 giây 78 = 278,78 giây.

Ở cùng một nội dung bơi 400 m nữ, tốc độ bơi trung bình và thời gian bơi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên tỉ số giữa tốc độ bơi trung bình của Ánh Viên tại Thế vận hội mùa hè năm 2016 và tại Giải bơi lội vô địch thế giới tổ chức ở Kazan (Nga) năm 2015 là: $\frac{278,78}{276,85}=\frac{27878}{27685}$.

Câu 6 trang 67 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một loại tàu cao tốc hiện nay ở Nhật Bản có thể di chuyển với tốc độ trung bình là 300 km/h, nhanh gấp 1,43 lần so với thế hệ tàu cao tốc đầu tiên.

(Nguồn: https://www.mt.gov.vn)

Nếu tàu cao tốc loại đó chạy một quãng đường trong 4 giờ thì tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong bao nhiêu giờ ?

Lời giải

Gọi t (giờ) là thời gian tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó.

Vì tàu cao tốc hiện nay di chuyển với tốc độ trung bình nhanh gấp 1,43 lần so với thế hệ tàu cao tốc đầu tiên nên tỉ số giữa tốc độ trung bình của tàu cao tốc hiện nay và tàu cao tốc thế hệ đầu tiên là 1,43.

Trên cùng một quãng đường, tốc độ trung bình và thời gian đi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên tỉ số giữa thời gian đi của tàu cao tốc thế hệ đầu tiên và tàu cao tốc hiện nay là 1,43.

Vậy nếu tàu cao tốc loại đó chạy một quãng đường trong 4 giờ thì tàu cao tốc thế hệ đầu tiên sẽ phải chạy quãng đường đó trong t = 1,43 . 4 = 5,72 giờ.

Câu 7 trang 67 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một bánh răng có 40 răng, quay một phút được 15 vòng, nó khớp với một bánh răng thứ hai. Giả sử bánh răng thứ hai quay một phút được 20 vòng. Hỏi bánh răng thứ hai có bao nhiêu răng ?

Lời giải

Gọi số răng của bánh răng thứ hai là x (răng).

Vì số răng và số vòng quay trong một phút của bánh răng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: x . 20 = 40 . 15 = 600.

Do đó, x = 600 : 20 = 30.

Vậy bánh răng thứ hai có 30 răng.

Câu 8 trang 67 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Hai bạn Hà và Châu cùng chạy một vòng quanh hồ. Hà chạy hết 15 phút, Châu chạy hết 18 phút. Tính tốc độ chạy trung bình của mỗi bạn biết tốc độ chạy của bạn Hà nhanh hơn bạn Châu là 2 km/h.

Lời giải

Tỉ số giữa thời gian chạy của Hà và thời gian chạy của Châu là $\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$.

Trên cùng một quãng đường, thời gian chạy và tốc độ chạy trung bình là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, tỉ số giữa tốc độ chạy trung bình của Hà và của Châu là $\frac{6}{5}$.

Gọi tốc độ chạy trung bình của Hà là x (km/h) thì tốc độ chạy trung bình của Châu là $\frac{5}{6}x$(km/h).

Mà tốc độ chạy của bạn Hà nhanh hơn bạn Châu là 2 km/h nên ta có:

x – $\frac{5}{6}x$ = 2 hay $\frac{1}{6}x=2$, suy ra x = 12.

Vậy tốc độ chạy trung bình của Hà là 12 km/h, tốc độ chạy trung bình của Châu là $\frac{5}{6}.12$ = 10 km/h.

Câu 9 trang 68 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B trong 60 phút và ngược dòng từ B về A trong 75 phút. Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và chiều dài của khúc sông AB.

Lời giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.

Khi ca nô xuôi dòng thì vận tốc là x + 2 (km/h).

Khi ca nô ngược dòng thì vận tốc là x – 2 (km/h).

Tỉ số giữa thời gian ca nô ngược dòng và xuôi dòng là: $\frac{75}{60}=\frac{5}{4}$ .

Trên cùng một quãng đường, thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, tỉ số giữa vận tốc khi ca nô ngược dòng và xuôi dòng là: $\frac{4}{5}$.

Ta có: $\frac{x-2}{x+2}=\frac{4}{5}$ suy ra (x – 2). 5 = (x + 2) . 4 hay 5x – 10 = 4x + 8, do đó x = 18.

Đổi 60 phút = 1 giờ

Chiều dài của khúc sông AB là: (18 + 2) . 1 = 20 (km).

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 18 km/h và chiều dài của khúc sông AB là 20 km.