Vở bài tập Toán 7 Bài 7 (Cánh diều): Đại lượng tỉ lệ thuận

Giải VBT Toán 7 Bài 7: Đại lượng tỉ lệ thuận

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Câu 1 trang 55 VBT Toán lớp 7 Tập 1:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức ……………… (với k là một hằng số khác  0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo ……………………………………

Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ ……….

Lời giải

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là một hằng số khác  0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{k}$.

Câu 2 trang 56 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng ………………………………………………….

• Tỉ số hai giá trị của bất kì của đại lượng này bằng tỉ số ……………………………….

……………………………………………………………………………………………

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃, … của y. Khi đó:

$\frac{y_1}{\mathrm{...}}=\frac{y_2}{\mathrm{...}}=\frac{\mathrm{...}}{x_3}=\mathrm{...}=k;\frac{x_1}{x_2}=\frac{\mathrm{...}}{\mathrm{...}}=\frac{\mathrm{...}}{\mathrm{...}}=\frac{y_1}{y_3};\mathrm{...}$.

Lời giải

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi;

• Tỉ số hai giá trị của bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x₁, x₂, x₃, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y₁, y₂, y₃, … của y. Khi đó:

$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}=\mathrm{...}=k;\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2};\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_1}{y_3};\mathrm{...}$.

II. LUYỆN TẬP

Câu 1 trang 56 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một ô tô chuyển động đều với vận tốc 65 km/h.

a) Viết công thức tính quãng đường đi được s (km) theo thời gian t (h) của chuyển động.

b) s và t có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận hay không ? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ của s đối với t.

c) Tính giá trị của s khi t = 0,5; t = $\frac{3}{2}$; t = 2.

Lời giải

 a) Công thức tính quãng đường đi được s (km) theo thời gian t (h) của chuyển động là:

s = 65.t.

b) Vì đại lượng s liên hệ với đại lượng t theo công thức s = 65t nên s và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là k = 65.

c)

Khi t = 0,5 thì s = 65 . 0,5 = 32,5 (km).

Khi t = $\frac{3}{2}$ thì s = 65 . $\frac{3}{2}$ = 97,5 (km).

Khi t = 2 thì s = 65 . 2 = 130 (km).

Câu 2 trang 56 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Một máy in trong 5 phút in được 120 trang. Hỏi trong 3 phút máy in đó in được bao nhiêu trang ?

Lời giải

Gọi x (phút) là thời gian in và y (trang) là số trang in được của máy in đó. Ta có thể tóm tắt đề bài như sau:

Thời gian (x)	x1 = 5	x2 = 3
Số trang (y)	y1 = 120	y2 = ?

Ở đó, y₂ là số trang in được trong 3 phút.

Ta có: Số trang in tỉ lệ thuận với thời gian theo hệ số tỉ lệ:

$k=\frac{y_1}{x_1}=\frac{120}{5}=24$.

Suy ra: $\frac{y_2}{x_2}=24$. Vì thế y₂ = 24 . x₂ = 24 . 3 = 72 (trang).

Vậy trong 3 phút máy in đó in được 72 trang.

Câu 3 trang 57 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Nhà trường phân công ba lớp 7A, 7B, 7C chăm sóc 54 cây xanh trong trường. Số cây mỗi lớp cần chăm sóc tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp. Biết lớp 7A có 40 học sinh, lớp 7B có 32 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Tính số cây mỗi lớp cần chăm sóc.

Lời giải

Gọi a, b, c lần lượt là số cây mà lớp 7A, 7B, 7C cần chăm sóc.

Ta có: a + b + c = 54.

Theo giả thiết, số cây mỗi lớp cần chăm sóc tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp nên ba số a, b, c tỉ lệ thuận với ba số 40; 32; 36 hay $\frac{a}{40}=\frac{b}{32}=\frac{c}{36}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{a}{40}=\frac{b}{32}=\frac{c}{36}=\frac{a+b+c}{40+32+36}=\frac{54}{108}=\frac{1}{2}$

Vậy lớp 7A cần chăm sóc số cây là a = 40 . $\frac{1}{2}$ = 20 (cây); lớp 7B cần chăm sóc số cây là  b = 32 . $\frac{1}{2}$ = 16 (cây) và lớp 7C cần chăm sóc số cây là c = 36 . $\frac{1}{2}$ = 18 (cây).

III. BÀI TẬP

Câu 1 trang 57 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Các giá trị tương ứng của khối lượng m (g) và thể tích V (cm³) được cho bởi bảng sau:

m	113	169,5	226	282,5	339
V	10	15	20	25	30
$\frac{m}{V}$

 

a) Viết số thích hợp vào chỗ chấm (…) trong bảng trên.

b) Hai đại lượng m và V tỉ lệ thuận với nhau vì ………………………………….

Lời giải

a)

m	113	169,5	226	282,5	339
V	10	15	20	25	30
$\frac{m}{V}$	$\frac{113}{10}$	$\frac{113}{10}$	$\frac{113}{10}$	$\frac{113}{10}$	$\frac{113}{10}$

b)

Hai đại lượng m và V tỉ lệ thuận với nhau vì tỉ số $\frac{m}{V}$ luôn không đổi.

Câu 2 trang 58 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau:

x	6	15	21	?	?
y	4	?	?	26	28

 a) Xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x. Viết công thức tính y theo x.

b) Xác định hệ số tỉ lệ của x đối với y. Viết công thức tính x theo y.

c) Tìm số thích hợp cho “?”.

Lời giải

a) Gọi k là hệ số tỉ lệ của y đối với x. Ta có: y = kx.

Vì khi x = 6 thì y = 4 nên k = $\frac{y}{x}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Hệ số tỉ lệ của y đối với x là k = $\frac{2}{3}$.

Vậy công thức tính y theo x là: y = $\frac{2}{3}$x.

b) Do y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = $\frac{2}{3}$ nên x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là: $\frac{1}{k}=\frac{3}{2}$.

Vậy công thức tính x theo y là: x = $\frac{3}{2}$y.

c) Ta có bảng kết quả sau:

x	6	15	21	39	42
y	4	10	14	26	28

Câu 3 trang 59 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Trung bình cứ 5 l nước biển chứa 175 g muối. Hỏi trung bình 12 l nước biển chứa bao nhiêu gam muối ?

Lời giải

Gọi x (l) là lượng nước biển và y (g) là lượng muối chứa trong x (l) nước biển đó. Ta có thể tóm tắt đề bài như sau:

Lượng nước biển (x)	x1 = 5	x2 = 12
Lượng muối (y)	y1 = 175	y2 = ?

 Ở đó, y₂ (g) là lượng muối có trong 12 l nước biển.

Do lượng muối và lượng nước biển là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Nên $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$ hay $\frac{175}{5}=\frac{y_2}{12}$, suy ra y₂ = $\frac{175.12}{5}$ = 420.

Vậy trung bình 12 l nước biển chứa 420 g muối.

Câu 4 trang 59 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Cứ 12 phút, một chiếc máy làm được 27 sản phẩm. Để làm được 45 sản phẩm như thế thì chiếc máy đó cần bao nhiêu phút ?

Lời giải

Gọi x (phút) là thời gian chiếc máy làm và y (sản phẩm) là số sản phẩm làm được. Ta có thể tóm tắt đề bài như sau:

Thời gian (x)	x1 = 12	x2 = ?
Số sản phẩm (y)	y1 = 27	y2 = 45

 Ở đó, x₂ là thời gian để chiếc máy làm được 45 sản phẩm.

Do số sản phẩm và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ thuận

nên $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$ hay $\frac{27}{12}=\frac{45}{x_2}$, suy ra x₂ = $\frac{12.45}{27}$ = 20.

Vậy để làm được 45 sản phẩm như thế thì chiếc máy đó cần thời gian là 20 phút.

Câu 5 trang 59 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Để làm thuốc ho người ta ngâm chanh đào với mật ong và đường phèn theo tỉ lệ: Cứ 0,5 kg chanh đào thì cần 250 g đường phèn và 0,5 l mật ong. Với tỉ lệ đó, nếu muốn ngâm 2,5 kg chanh đào thì cần bao nhiêu ki-lô-gam đường phèn và bao nhiêu lít mật ong ?

Lời giải

Đổi: 250 g = 0,25 kg

Gọi số ki-lô-gam đường phèn và số lít mật ong cần dùng để ngâm với 2,5 kg chanh đào lần lượt là x và y.

Do số ki-lô-gam chanh đào, số ki-lô-gam đường phèn và số lít mật ong tỉ lệ với ba số 0,5; 0,25; 0,5 nên ta có: $\frac{2,5}{0,5}=\frac{x}{0,25}=\frac{y}{0,5}=5$.

Vậy số đường phèn cần là x = 0,25 . 5 = 1,25 (kg) và số mật ong cần là y = 0,5 . 5 = 2,5 (lít).

Câu 6 trang 60 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Theo công bố chính thức từ hãng sản xuất, chiếc xe ô tô của cô Hạnh có mức tiêu thụ nhiên liệu như sau:

• 9,9 l/100 km trên đường hỗn hợp;

• 13,9 l/100 km trên đường đô thị;

• 7,5 l/100 km trên đường cao tốc.

a) Theo thông số trên, nếu trong bình xăng chiếc xe ô tô đó có 65 lít xăng thì cô Hạnh đi được bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn đến hàng đơn vị) khi cô đi trên đường đô thị ? Đường hỗn hợp ? Đường cao tốc ?

b) Để đi quãng đường 400 km trên đường đô thị, trong bình xăng chiếc xe ô tô của cô Hạnh cần tối thiểu bao nhiêu lít xăng ?

c) Để đi quãng đường 300 km trên đường hỗn hợp và 300 km trên đường cao tốc, trong bình xăng chiếc xe ô tô của cô Hạnh cần tối thiểu bao nhiêu lít xăng ?

Lời giải

a) Gọi x (km) là quãng đường mà ô tô của cô Hạnh đi được khi trong bình xăng có 65 lít xăng.

Ta có: Số lít xăng tiêu thụ và quãng đường đi được là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Nếu đi trên đường đô thị, ta có: $\frac{65}{x}=\frac{13,9}{100}$. Vậy x = (65 . 100) : 13,9 ≈ 468 (km).

Nếu đi trên đường hỗn hợp, ta có: $\frac{65}{x}=\frac{9,9}{100}$. Vậy x = (65 . 100) : 9,9 ≈ 657 (km).

Nếu đi trên đường cao tốc, ta có: $\frac{65}{x}=\frac{7,5}{100}$. Vậy x = (65 . 100) : 7,5 ≈ 867 (km).

b) Gọi y (l) là số lít xăng tối thiểu trong bình xăng để ô tô đi được quãng đường 400 km trên đường đô thị.

Ta có: $\frac{y}{400}=\frac{13,9}{100}$. Vậy y = (400 . 13,9) : 100 = 55,6 (l).

c) Gọi a (l), b (l) lần lượt là số lít xăng tối thiểu để ô tô đi được quãng đường 300 km trên đường hỗn hợp và 300 km trên đường cao tốc.

Ta có: $\frac{a}{300}=\frac{9,9}{100}$. Vậy a = (300 . 9,9) : 100 = 29,7 (l).

Ta có: $\frac{b}{300}=\frac{7,5}{100}$. Vậy b = (300 . 7,5) : 100 = 22,5 (l).

Vậy để đi quãng đường 300 km trên đường hỗn hợp và 300 km trên đường cao tốc, trong bình xăng chiếc xe ô tô của cô Hạnh cần tối thiểu số lít xăng là:

29,7 + 22,5 = 52,2 (l).

Câu 7 trang 61 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Lớp 7A tổ chức ba câu lạc bộ là: câu lạc bộ Thể thao, câu lạc bộ Âm nhạc và câu lạc bộ Khoa học. Toàn bộ học sinh trong lớp đều đăng kí tham gia các câu lạc bộ đó và mỗi bạn chỉ được đăng kí một câu lạc bộ. Số học sinh tham gia câu lạc bộ Thể thao, Âm nhạc, Khoa học tỉ lệ với 6; 3; 2. Tính số học sinh tham gia mỗi câu lạc bộ đó biết lớp 7A có 44 học sinh.

Lời giải

Gọi số học sinh tham gia câu lạc bộ Thể thao, Âm nhạc, Khoa học lần lượt là x (học sinh), y (học sinh), z (học sinh).

Theo đề bài ta có: $\frac{x}{6}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ và x + y + z = 44.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{x}{6}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}=\frac{x+y+z}{6+3+2}=\frac{44}{11}=4$.

Suy ra x = 6 . 4 = 24; y = 3 . 4 = 12 và z = 2 . 4 = 8.

Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ Thể thao, Âm nhạc, Khoa học lần lượt là 24 học sinh, 12 học sinh và 8 học sinh.

Câu 8 trang 61 VBT Toán lớp 7 Tập 1: Trên một đường tròn bán kính 10 m có hai chất điểm A và B bắt đầu chuyển động tại cùng một vị trí và đi ngược chiều nhau. Hỏi khi gặp nhau lần thứ nhất, mỗi chất điểm đi được quãng đường bằng bao nhiêu mét ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm; lấy π ≈ 3,14). Biết tỉ số giữa vận tốc của chất điểm A và vận tốc của chất điểm B là $\frac{4}{5}$

Lời giải

Chu vi của đường tròn là: C = 2πR ≈ 2 . 3,14 . 10 = 62,8 (m).

Gọi s_A (m), v_A (m/s), t_A (s) lần lượt là quãng đường đi được, vận tốc và thời gian đi được của chất điểm A.

Gọi s_B (m), v_B (m/s), t_B (s) lần lượt là quãng đường đi được, vận tốc và thời gian đi được của chất điểm B.

Ta có: $t_A=\frac{s_A}{v_A}$; $t_B=\frac{s_B}{v_B}$

Khi gặp nhau lần thứ nhất, ta có thời gian đi được của hai chất điểm là bằng nhau, tức là: t_A = t_B hay $\frac{s_A}{v_A}=\frac{s_B}{v_B}$ hay $\frac{s_A}{s_B}=\frac{v_A}{v_B}$.

Mà tỉ số giữa vận tốc của chất điểm A và vận tốc của chất điểm B là $\frac{4}{5}$ nên ta có:

$\frac{s_A}{s_B}=\frac{v_A}{v_B}=\frac{4}{5}$ ⇒ $\frac{s_A}{4}=\frac{s_B}{5}$.

Mặt khác: s_A + s_B = C = 62,8 (m)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{s_A}{4}=\frac{s_B}{5}=\frac{s_A+s_B}{4+5}=\frac{62,8}{9}$.

Suy ra s_A = (4 . 62,8) : 9 = 27,91 và s_B = (5 . 62,8) : 9 = 34,89.

Vậy chất điểm A đi được 27,91 mét và chất điểm B đi được 34,89 mét.