Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H)

Lời giải Bài 3.9 trang 52 sách Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

1 3263 lượt xem

Trang trước

Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hypebol

Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10;

b) (H) có tiêu cự bằng $2 \sqrt{13}$ , một đường tiệm cận là $y = \frac{2}{3} x$ ;

c) (H) có tâm sai $e = \sqrt{5}$ , và đi qua điểm $(\sqrt{10}; 6)$ .

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có nửa trục thực bằng 4 $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự bằng 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tiêu cự bằng

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y = \frac{2}{3} x$ $\Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{b}{2} = \frac{a}{3} \Rightarrow \frac{b^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{9}$ $= \frac{b^{2} + a^{2}}{4 + 9} = \frac{c^{2}}{13} = \frac{{(\sqrt{13})}^{2}}{13} = 1$ $\Rightarrow \{\begin{cases} b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \end{cases} .$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có tâm sai

Chuyên đề Toán 10 Bài 6: Hypebol - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Hypebol đi qua điểm $(\sqrt{10}; 6)$ $\Rightarrow$ $\frac{{(\sqrt{10})}^{2}}{a^{2}} - \frac{6^{2}}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{10}{a^{2}} - \frac{36}{b^{2}} = 1$ (2).

Thế (1) vào (2) ta được:

$\Rightarrow \frac{10}{a^{2}} - \frac{36}{4 a^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{10}{a^{2}} - \frac{9}{a^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow b^{2} = 4.$