Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hypebol

Bài 3.11 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Lời giải:

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d₁ : $y=-\frac{b}{a}x$ hay bx + ay = 0 và d₂ : $y=\frac{b}{a}x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d₁) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$, d(M, d₂) = $\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$.

$\iff$ d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}.\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$$=\frac{\left|{\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2\right|}{a^2+b^2}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^2{b}^2-a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=1 \end{gathered}$$

$\Rightarrow {\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2=a^2{b}^2$

Thay vào (*) ta được: d(M, d₁).d(M, d₂) = $\frac{\left|a^2{b}^2\right|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$...

Luyện tập 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$. a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục...

HĐ2 trang 49 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0)...

Luyện tập 2 trang 50 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng 6$\sqrt{3}$ ...

Luyện tập 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$ với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0)...

HĐ3 trang 50 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với các tiêu điểm F₁(–c; 0)...

Luyện tập 4 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc, có tâm sai e = 2...

Vận dụng trang 52 Chuyên đề Toán 10: Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm...

Bài 3.7 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$...

Bài 3.8 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$...

Bài 3.9 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ, hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H)...

Bài 3.10 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông...

Bài 3.12 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 5: Elip

Bài 7: Parabol

Bài 8: Sự thống nhất giữa ba đường conic

Bài tập cuối chuyên đề 3