Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 101 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh: $x-4\sqrt{x-4}={\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2$

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

A = $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$

Lời giải:

a) Xét VP = ${\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2$

$={\left(\sqrt{x-4}\right)}^2-2.\sqrt{x-4}.2+2^2$

$$\begin{gathered} =x-4-4\sqrt{x-4}+4 \\ =x-4\sqrt{x-4} = VT \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

b) Điều kiện:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-4\ge 0\\ x-4\sqrt{x-4}\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x-4-4\sqrt{x-4}+4\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ {\left(\sqrt{x-4}\right)}^2-2.\sqrt{x-4}.2+2^2\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ {\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow x\ge 4 \end{gathered}$$

Từ câu a ta có:

$x-4\sqrt{x-4}={\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2$

Lại có:

$x+4\sqrt{x-4}=x-4+4\sqrt{x-4}+4$

$$\begin{gathered} ={\left(\sqrt{x-4}\right)}^2+2.\sqrt{x-4}.2+2^2 \\ ={\left(\sqrt{x-4}+2\right)}^2 \end{gathered}$$

A = $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$

$$\begin{gathered} \iff A=\sqrt{{\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{x-4}+2\right)}^2} \\ \iff A=\left|\sqrt{x-4}-2\right|+\left|\sqrt{x-4}+2\right| \end{gathered}$$

Ta có: $\sqrt{x-4}\ge 0$ với mọi x thỏa mãn điều kiện,

do đó $\sqrt{x-4}+2>0$

$\Rightarrow \left|\sqrt{x-4}+2\right|=\sqrt{x-4}+2$

Trường hợp 1:

$$\begin{gathered} \sqrt{x-4}-2<0\iff \sqrt{x-4}<2 \\ \iff x-4<4\iff x<8 \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện ta có:

$4\le x<8$ thì $\sqrt{x-4}-2<0$

$\Rightarrow \left|\sqrt{x-4}-2\right|=2-\sqrt{x-4}$

Khi đó A trở thành:

A = $2-\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}+2=4$

Trường hợp 2:

$$\begin{gathered} \sqrt{x-4}-2\ge 0\iff \sqrt{x-4}\ge 2 \\ \iff x-4\ge 4\iff x\ge 8 \end{gathered}$$

Kết hợp với điều kiện ta có:

$x\ge 8$ thì $\sqrt{x-4}-2\ge 0$

$\Rightarrow \left|\sqrt{x-4}-2\right|=\sqrt{x-4}-2$

Khi đó A trở thành:

A = $\sqrt{x-4}-2+\sqrt{x-4}+2=2\sqrt{x-4}$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 96 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Nếu x thỏa mãn điều kiện...

Bài 97 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Biểu thức $\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}$có giá trị là...

Bài 98 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau...

Bài 99 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Cho $A=\frac{\sqrt{4x^2-4x+1}}{4x-2}$...

Bài 100 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 102 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau...

Bài 103 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 104 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm số x nguyên...

Bài 105 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)...

Bài 106 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 107 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 108 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài I.1 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính...