Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 105 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)

a)$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

b)$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right){\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)}^2=1$

Lời giải:

a) Ta có:

VT = $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}$

= $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{2b}{a-b}$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \\ -\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \\ +\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \\ -\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \\ +\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)} \\ =\frac{{\displaystyle 4\sqrt{ab}+4b}}{{\displaystyle 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}} \\ =\frac{{\displaystyle 4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}}{{\displaystyle 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}} \end{gathered}$$

$=\frac{2\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$ = VP

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

b) Xét

VT = $\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right){\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)}^2$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(a-b\right)}^2} \\ =\left(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right). \\ \frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{{\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right]}^2} \\ =\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right). \\ \frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2} \\ =\left(a-2\sqrt{ab}+b\right).\frac{1}{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2} \\ ={\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2.\frac{1}{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}=1=VP \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 96 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Nếu x thỏa mãn điều kiện...

Bài 97 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Biểu thức $\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}$có giá trị là...

Bài 98 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau...

Bài 99 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Cho $A=\frac{\sqrt{4x^2-4x+1}}{4x-2}$...

Bài 100 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 101 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 102 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau...

Bài 103 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 104 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm số x nguyên...

Bài 106 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 107 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 108 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài I.1 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính...