Không dùng bảng số hoặc máy tính

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài I.1 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ với $\sqrt{5}+1$.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1.\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)} \\ =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)} \\ =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \end{gathered}$$

Đặt a = $\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow a^2={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2 \\ =3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6} \end{gathered}$$

Đặt b = $\sqrt{5}+1\Rightarrow b^2={\left(\sqrt{5}+1\right)}^2$

$=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}$

= $5+1+2\sqrt{5}$

Ta đi so sánh $2\sqrt{6}$ và 1 + $2\sqrt{5}$

Ta có: ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24$ = 21 + 3

$$\begin{gathered} {\left(1+2\sqrt{5}\right)}^2=1+4\sqrt{5}+20 \\ =21+4\sqrt{5} \end{gathered}$$

Ta lại đi so sánh 3 và 4$\sqrt{5}$

Ta có: $3^2=9$

${\left(4\sqrt{5}\right)}^2=80$

Vì 9 < 80 nên 3 < $4\sqrt{5}$ 

do đó 21 + 3 < 21 + 4$\sqrt{5}$

hay 24 < $21+4\sqrt{5}$

Vì 24 < 21 + 4$\sqrt{5}$ nên $2\sqrt{6}<1+2\sqrt{5}$

Vì $$\begin{gathered} 2\sqrt{6}<1+2\sqrt{5} \\ \Rightarrow 5+2\sqrt{6}<5+1+2\sqrt{5} \end{gathered}$$

$\iff 5+2\sqrt{6}<6+2\sqrt{5} \Rightarrow a^2<b^2$

hay a < b

Do đó: $\sqrt{3}+\sqrt{2}<\sqrt{5}+1$

hay $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}<\sqrt{5}+1$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 96 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Nếu x thỏa mãn điều kiện...

Bài 97 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Biểu thức $\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}$có giá trị là...

Bài 98 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau...

Bài 99 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Cho $A=\frac{\sqrt{4x^2-4x+1}}{4x-2}$...

Bài 100 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 101 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 102 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau...

Bài 103 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 104 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm số x nguyên...

Bài 105 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)...

Bài 106 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 107 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 108 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...