Chứng minh các đẳng thức sau

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 98 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau

a) $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

b) $\sqrt{\frac{4}{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{4}{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}}=8$

Lời giải:

a) Ta thấy $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$ không âm

Do đó thay vì chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$ ta đi chứng minh: ${\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2=6$

Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2 \\ =2+\sqrt{3}+2.\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}+2-\sqrt{3} \\ =4+2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)} \\ =4+2\sqrt{4-3}=4+2=6 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$Điều cần chứng minh

b) Ta có VT = $\sqrt{\frac{4}{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{4}{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}}$

$=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}}-\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}}$

$$\begin{gathered} =\frac{2}{\left|2-\sqrt{5}\right|}-\frac{2}{\left|2+\sqrt{5}\right|} \\ =\frac{2}{\sqrt{5}-2}-\frac{2}{2+\sqrt{5}} \end{gathered}$$

(vì $\sqrt{5}>2$ nên $2-\sqrt{5}<0$

do đó $\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$)

$$\begin{gathered} =\frac{2.\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}-\frac{2.\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)} \\ =\frac{4+2\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}-\frac{2\sqrt{5}-4}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)} \\ =\frac{4+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+4}{5-4}=\frac{8}{1}=8 \end{gathered}$$

 (điều phải chứng minh)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 96 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Nếu x thỏa mãn điều kiện...

Bài 97 trang 21 SBT Toán 9 Tập 1: Biểu thức $\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}+\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}$có giá trị là...

Bài 99 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Cho $A=\frac{\sqrt{4x^2-4x+1}}{4x-2}$...

Bài 100 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 101 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 102 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau...

Bài 103 trang 22 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh...

Bài 104 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm số x nguyên...

Bài 105 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)...

Bài 106 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 107 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 108 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài I.1 trang 23 SBT Toán 9 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính...