Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Ta có : \[\overrightarrow a - \overrightarrow b \] = (–2m; 2) – (2; –7n) = (–2m –2; 2 + 7n)

Mà \[\overrightarrow a - \overrightarrow b \] = (6; – 5)

Nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2m - 2 = 6\\2 + 7n = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = - 1\end{array} \right.\)

Vậy m = – 4 và n = – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có :  \[\overrightarrow {AB} \] = (–5 – 2; 3 – (–4)) = (–7; 7).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Xét tam giác ABC, có :

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

Suy ra MN là đường trung bình tam giác ABC

Theo tính chất đường trung bình, ta có :

\[\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \] = \[\frac{1}{2}\].(2; –8) = (1; –4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 3\[\overrightarrow k \]= 3(5 ; 2) = (15 ; 6) ; 2\[\overrightarrow n \] = 2(10 ; 8) = (20 ; 16)

\[3\overrightarrow k - 2\overrightarrow n \] = (15 – 20 ; 6 – 16) = (– 5; – 10).

Đáp án đúng là: B

LỜi giải

Đường thẳng đi qua hai điểm A(– 3; 2) và B(1; 4) có VTCP là:

\[\overrightarrow {AB} = \left( {1 - ( - 3);4 - 2} \right)\]= (4; 2) = 2(2; 1)  hay \[\vec u\left( {2;1} \right)\].

*Phương pháp giải:

- Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A và B có: $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ phương của 

- Cho $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$$\Rightarrow$  k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  là vectơ chỉ phương của .

- Cho đường thẳng $\Delta$ : $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của $∆$ là $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$

- Cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(a;b)$

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’ : Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a),\overrightarrow{u}=(b;-a)$

*Lý thuyết:

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$ ($\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ chỉ phương của .

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

Xem thêm

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian (có đáp án 2024) - Toán 12 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : C

Gọi toạ độ C(x ; y), ta có:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên : \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{6 + \left( { - 3} \right) + x}}{3} = - 1\\{y_G} = \frac{{1 + 5 + y}}{3} = 1\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 6\\y = - 3\end{array} \right..\] hay C (–6; –3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\], vậy điểm A (–1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến \[\Delta \]: 3x + y + 3 = 0 :

\[d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) + 1.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Đường thẳng \({d_1}\): 6x – 5y + 4 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6; - 5} \right)\)

Đường thẳng\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;5} \right)\) nên VTCP là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;6} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 5.6 + 6.\left( { - 5} \right) = 0\). Do đó d₁ ⊥ d₂ hay góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

+) Đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 6t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 6;5} \right)\)

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;5} \right)\)

Ta có: \(\frac{{ - 6}}{5} = \frac{{ - 6}}{5}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₁ song song hoặc trùng d₂. Do đó góc giữa hai đường thẳng bằng 0°.

+) Đường thẳng d₁: x – 2y + 4 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\)

Đường thẳng d₂: y + 1 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1} \right)\)

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:

\[{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.0 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]

⇒ (d₁ ; d₂) ≈ 26°34’.

+) Đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 3;2} \right)\) nên VTCP là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3} \right)\)

Đường thẳng d₂: 3x + 2y – 4 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;2} \right)\)

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:

\[{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} .\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}\]

⇒ (d₁ ; d₂) ≈ 22°37’.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {5 - 3;2 - 5} \right) = \left( {2; - 3} \right)\); \(\overrightarrow {BD} = \left( {m - 1;n - 2} \right)\).

Để ACDB là hình bình hành thì \[\overrightarrow {AC} \] = \(\overrightarrow {BD} \) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 2\\n - 2 = - 3\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}m = 3\\n = - 1\end{array} \right.\).

⇒ m + n = 3 + (– 1) = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : C

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên, ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 2 + x + 3 + x}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2 + 5 + 2y + 3 - y}}{3} = 0\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\y = - 10\end{array} \right. \Rightarrow 2.x + y = 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \left( { - 10} \right) = - 11\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 3; - 2} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \]\[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \] = (– 2 – (– 3); – 1 – (– 2)) = (1; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b} \right)\]

\[ \Rightarrow \] đường thẳng AB có VTCP \[\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b} \right)\] hoặc \[\vec u = - \overrightarrow {AB} = \left( {a; - b} \right).\]

\[ \Rightarrow \] đường thẳng AB có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {b;a} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

- Ta có: B(1; 5); C(3; 1) ⇒ \[\overrightarrow {BC} \]= (2; – 4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

Ta chọn \[\overrightarrow n \]= (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC (\[\overrightarrow n \bot \overrightarrow {BC} \]), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay

2x + y – 7 = 0

- Độ dài BC: BC = \[\sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {20} \]\[ = 2\sqrt 5 \]

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

\[{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.( - 4) - 7} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \]

+) Diện tích tam giác ABC:

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{h_A}.BC\] = \[\frac{1}{2}.\sqrt 5 .2\sqrt 5 \] = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: (C): x² + y² = 16

\[ \Rightarrow \]I (0; 0); R = \[\sqrt {16} \] = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\]có VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} \) = (4; – 4) = 4.(1; – 1). Suy ra VTCP của đường thẳng d cũng là vectơ có tọa độ (1; – 1).

Với t = 1 thì \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4.1 = 1\\y = 2 - 4.1 = - 2\end{array} \right.\]. Do đó đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1; – 2).

Vì vậy đường thẳng d trùng với đường thẳng \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = - 2 - t'\end{array} \right.\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1 - ( - 1);3 - 1} \right) = \left( {2;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 2 - ( - 1);0 - 1} \right)\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1} \right)\end{array} \right.\] nhận thấy

 \[\overrightarrow {AB} \]= -2. (-1; -1) = \[ - 2\overrightarrow {AC} \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 2;0} \right) \in Ox\\B\left( {0;4} \right) \in Oy\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \]Phương trình đường thẳng:\[\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow \]4x – 2y + 8 = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

\[d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.( - 1) - 4.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \frac{{10}}{5} = \]2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 1 = 3\\ - 3 = 4b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 4\\4b = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\).

Vậy a = 2 và b = – 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right)\]

\[ \Rightarrow \] đường thẳng OM có VTCP: \[\vec u = \overrightarrow {OM} = \left( {a;b} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

Hướng dẫn giải

Đáp ứng đúng là: B

Ta có: \[d \bot Oy:x = 0 \Rightarrow {\vec u_d} = \left( {1;0} \right)\], mặt khác \[M\left( {6; - 10} \right) \in d\]

Phương trình tham số \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = - 10\end{array} \right.\], với t = – 4 ta được \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 10\end{array} \right.\]

hay A (2; – 10) \[ \in \]d \[ \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 10\end{array} \right.\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[{d_1}\]: 3x – 2y – 3 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} \) = (3; – 2) và \[{d_2}\]: 6x – 2y – 8 = 0 có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} \) = (6; – 2).

Ta có: \(\frac{3}{6} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.

Do đó đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau.

Ta lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.6 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) = 22 \ne 0\) nên d₁ và d₂ không vuông góc với nhau.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: (C): x² + y² – 8x + 2y + 6 = 0 ⇔ x² + y² – 2.4x – 2.(– 1)y + 6 = 0

⇒ a = 4; b = – 1 và c = 6

⇒ I (4; – 1), \[R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 6} = \]\[\sqrt {11} \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình đường tròn cần tím có dạng (C): x² + y² + 2ax + 2by + c = 0.

Vì (C) đi qua các điểm A, B, C nên lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình (C) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + 2.a\left( { - 1} \right) + 2b\left( { - 2} \right) + c = 0\\{0^2} + {1^2} + 2.a.0 + 2b.1 + c = 0\\{1^2} + {2^2} + 2.a.1 + 2b.2 + c = 0\end{array} \right.\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c = - 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2b + c = - 1\\2a + 4b + c = - 5\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = 2\\c = - 5\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C) là x² + y² – 8x + 4y – 5 = 0 ⇔ (x – 4)² + (y + 2)² = 5².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình (C): x² + y² – 3x – y = 0 ⇔ \({\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}\).

Khi đó đường tròn (C) có tâm \[I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\] nên tiếp tuyến tại N có VTPT là:

\[\vec n = \overrightarrow {IN} = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\left( {1;3} \right),\]

Nên có phương trình là: 1(x – 1) +3(y + 1) = 0\[ \Leftrightarrow \]x + 3y + 2 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow {{n_d}} = \)(3; – 4) suy ra VTCP của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \)(4; 3).

Vì phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \)(4; 3) làm VTPT khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 4x + 3y + c = 0

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I(– 2; – 2), R = 5

Bán kính đường tròn: \[R = d\left( {I;\Delta } \right)\] \[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.( - 2) + 3.( - 2) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 14} \right|}}{5} = 5\]

⇔ |c – 14| = 25\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 14 = 25\\c - 14 =  - 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 39\\c = - 11\end{array} \right.\]

Suy ra có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn: 4x + 3y + 39 = 0 hoặc \[\Delta \]: 4x + 3y –11 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right),\) có độ dài trục lớn B₁B₂ = 2b.

Xét \(\left( E \right):4{x^2} + 16{y^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{4}}} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{1}{4}\\{b^2} = \frac{1}{{16}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{4}\end{array} \right.\,\)\( \Rightarrow \,\,\,{B_1}{B_2} = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\)

\[ \Rightarrow \]2p = 2 \( \Rightarrow \) p =1. Phương trình đường chuẩn là \(x = - \frac{p}{2}\)=\[ - \frac{1}{2}\] .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) có tiêu cự là 2c

Xét \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 4\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2}\]= 16 – 4 = 12\[ \Rightarrow \]c = \[\sqrt {12} \]\[ \Rightarrow \]2c = 2\[\sqrt {12} \].