Đáp án: B

Giải thích:

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác ABC cân tại A

Góc ở đỉnh: $\hat{\mathrm{A}}=180°-2\hat{\mathrm{C}}=180°-2\hat{\mathrm{B}}$

Góc ở đáy: $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}$

Áp dụng ta có số đo góc ở đáy bằng:

$\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}=\frac{180°-46°}{2}=67°$

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.

Đáp án: B

Giải thích:

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông bằng nhau và bằng $45°$

Đáp án: D

Giải thích:

Do tam giác ABC cân tại A nên $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào ta có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-\left(\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}\right) \\ \iff \hat{\mathrm{A}}=180°-2\hat{\mathrm{C}} \\ \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2} \\ \iff \hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2} \end{gathered}$$

Đáp án: D

Giải thích:

Do tam giác ABC cân tại A nên $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}$

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào ta có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180° \\ \hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°-\hat{\mathrm{A}} \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2} \\ =\frac{180°-2\mathrm{\alpha }}{2}=90°-\mathrm{\alpha } \end{gathered}$$

Đáp án: A

Giải thích:

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Trong tam giác đều, ba góc bằng nhau và cùng bằng  (A đúng; D sai).

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (B sai).

Tam giác vuông cân là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng  nên tam giác vuông cân không phải tam giác đều (C sai).

Đáp án: B

Giải thích:

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác ABC cân tại A

Góc ở đỉnh: $\hat{\mathrm{A}}=180°-2\hat{\mathrm{C}}=180°-2\hat{\mathrm{B}}$

Góc ở đáy: $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}$

Áp dụng ta có số đo góc ở đáy bằng:

$\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}=\frac{180°-64°}{2}=58°$

Đáp án: C

Giải thích:

Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BD

cân tại A nên

$\widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{BAC}}}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$

cân tại D nên

$\widehat{\mathrm{DBA}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{ADB}}}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$

Ta có:$\widehat{\mathrm{DBE}}=\widehat{\mathrm{DBA}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=20°+40°=60°$

Xét $△\mathrm{BDE}$ có: $\widehat{\mathrm{DBE}}=60°$ nên $△\mathrm{BDE}$ đều

suy ra BD = BE = DE = DA

$\widehat{\mathrm{EDA}}=\widehat{\mathrm{BDA}}-\widehat{\mathrm{BDE}}=140°-60°=80°$

$△\mathrm{DAE}$ cân tại D (vì DE = DA (cmt)) nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{DEA}}=\widehat{\mathrm{DAE}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{EDA}}}{2} \\ =\frac{180°-80°}{2}=50° \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{EAC}}=\widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{BAC}}-\widehat{\mathrm{DAE}} \\ =20°+100°-50°=70° \\ \widehat{\mathrm{AEC}}=180°-\widehat{\mathrm{DEA}}-\widehat{\mathrm{DEB}} \\ =180°-50°-60°=70° \end{gathered}$$

$△\mathrm{CAE}$ có $\widehat{\mathrm{EAC}}=\widehat{\mathrm{AEC}}=70°$ nên $△\mathrm{CAE}$ cân tại C

suy ra AC = EC

Do đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{AB}=\mathrm{BD}=\mathrm{BE} \\ =\mathrm{BC}-\mathrm{EC}=\mathrm{BC}-\mathrm{AC}=\mathrm{a}-\mathrm{b} \\ \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{b} \end{gathered}$$

Vậy chu vi tam giác ABD bằng

$$\begin{gathered} \mathrm{AD}+\mathrm{BD}+\mathrm{AB} \\ =\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{b}=2\mathrm{a}-\mathrm{b} \end{gathered}$$

Đáp án: B

Giải thích:

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào ta có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-\left(\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}\right) \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-90°=90° \end{gathered}$$

$△\mathrm{ABC}$ có $\hat{\mathrm{A}}=90°; \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=45°$ nên $\widehat{\mathrm{ABC}}$ là tam giác vuông cân

Đáp án: D

Giải thích:

Tổng số đo hai góc ở đáy bằng: $70°\times 2=140°$

Vì tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$

Nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

$180°-140°=40°$

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABC có $\hat{\mathrm{A}}=90°$; $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ nên  là tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa căn nên cả A, B, C đều đúng

Đáp án: A

Giải thích:

Từ hình vẽ ta có: $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}; \mathrm{BC}=\mathrm{DE}$

Vì $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}\Rightarrow △\mathrm{ABE}$ cân tại A

Suy ra $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{E}}$ (hai góc ở đáy)

Xét tam giác ABC và AED có

$\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{E}}$ (cmt)

AB = AE

BC = DE

$\Rightarrow △\mathrm{ABC}=△\mathrm{AED}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

Do đó: AC = AD (hai cạnh tương ứng suy ra $△\mathrm{ACD}$ cân tại A

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác ABC cân tại A (vì AB = AC) nên $\hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{ACB}}=65°$

$\widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{ACD}}=180°$ (hai góc kề bù)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{ACD}}=180°-\widehat{\mathrm{ACB}} \\ =180°-65°=115° \end{gathered}$$

Tam giác ACD cân tại D (vì CA = CD) và $\widehat{\mathrm{ACD}}=115°$

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{CAD}}=\frac{180°-\widehat{\mathrm{ACB}}}{2} \\ =\frac{180°-115°}{2}=32°30\text{'} \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{x}=32°30\text{'}$

Đáp án: A

Giải thích:

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=45°$

Xét tam giác AMB có BM = BA (gt), nên tam giác AMB cân ở B

Do đó:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AMB}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{B}}}{2} \\ =\frac{180°-45°}{2}=67°30\text{'} \end{gathered}$$

Chứng minh tương tự ta được tam giác ANC cân ở C và $\widehat{\mathrm{ANC}}=67°30\text{'}$

Xét tam giác AMN có ,$\widehat{\mathrm{AMN}}=\widehat{\mathrm{ANM}}=67°30\text{'}$ do đó tam giác AMN cân ở A

Đáp án: D

Giải thích:

Do tam giác ABC cân nên

$\hat{\mathrm{B}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$

Ta thấy tam giác ADE cân do $\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ADE}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$

Do $\widehat{\mathrm{ADE}}=\hat{\mathrm{B}}$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ED//BC

Vậy đáp án D sai

Đáp án: D

Giải thích:

Tổng số đo hai góc ở đáy bằng: $52°\times 2=104°$

Vì tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$

Nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là:

$180°-104°=76°$

Đáp án: C

Giải thích:

Do tam giác ABC cân nên $\hat{\mathrm{B}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}$(1)

Ta thấy $△\mathrm{ADE}$ có $\mathrm{AE}=\mathrm{AD}\left(\mathrm{gt}\right)$ nên $△\mathrm{ADE}$ cân tại A

 $\Rightarrow \widehat{\mathrm{AED}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{AED}}=\hat{\mathrm{B}}$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE//BC

Vậy A đúng

Xét $△\mathrm{ABD}$ và $△\mathrm{ACE}$ có

$\hat{\mathrm{A}}$ chung

AE = AD(gt)

AB = AC (vì $△\mathrm{ABC}$ cân tại A)

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}=△\mathrm{ACE}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{AEC}}=90°$ (hai góc tương ứng )

Do đó $△\mathrm{ACE}$ là tam giác vuông

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABC có $\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=60°$ nên $△\mathrm{ABC}$ là tam giác vuông đều

Tam giác đều là tam giác cân nên  là tam giác cân tại A, B, C

$\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=60°$ do đó $△\mathrm{ABC}$ có ba góc đều là góc nhọn nên là tam giác nhọn

Vậy cả A, B, C đều đúng

Đáp án: C

Giải thích:

Từ giả thiết suy ra AM = BM = CM

Ta có: $\widehat{\mathrm{BAC}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$

(định lí tổng ba góc trong tam giác )(1)

Lại có $△\mathrm{AMB}$ cân tại M (do AM = BM)

Nên $\hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{BAM}}$ (Tính chất)(2)

Tương tự $△\mathrm{AMC}$ cân tại M (do MA = MC)

Nên $\hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{MAC}}$ (tính chất )(3)

Từ (1)(2)(3) ta có

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BAC}}+\widehat{\mathrm{BAM}}+\widehat{\mathrm{MAC}}=180° \\ \Rightarrow 2\widehat{\mathrm{BAC}}=180°\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}=90° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Trên tia MA lấy điểm D sao cho $\mathrm{MD}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$, khi đó D nằm giữa A và M.

Ta có: $\widehat{\mathrm{BDM}}$ là góc ngoài đỉnh D của $△\mathrm{ABD}$ nên $\widehat{\mathrm{BDM}}=\widehat{\mathrm{BAD}}+\widehat{\mathrm{ABD}}$

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{BDM}}>\widehat{\mathrm{BAD}}$ (1)

$\widehat{\mathrm{CDM}}$ là góc ngoài đỉnh D của $△\mathrm{ACD}$ nên $\widehat{\mathrm{CDM}}=\widehat{\mathrm{CAD}}+\widehat{\mathrm{ACD}}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{CDM}}>\widehat{\mathrm{CAD}}$ (2)

$△\mathrm{BMD}$ có MD = MB (theo cách dựng) nên $△\mathrm{BMD}$ cân tại M, suy ra $\widehat{\mathrm{MBD}}=\widehat{\mathrm{MDB}}$

$△\mathrm{CMD}$ có MD = MC ( theo cách dựng) nên $△\mathrm{CMD}$ cân tại M, suy ra $\widehat{\mathrm{MCD}}=\widehat{\mathrm{MDC}}$

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác $△\mathrm{BDC}$, ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{CBD}}+\widehat{\mathrm{BDC}}=180° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{CBD}}+\widehat{\mathrm{BDM}}=180° \\ \Rightarrow 2.\widehat{\mathrm{BDM}}+2.\widehat{\mathrm{CDM}}=180° \\ \Rightarrow 2\left(\widehat{\mathrm{BDM}}+\widehat{\mathrm{CDM}}\right)=180° \end{gathered}$$

$\Rightarrow 2\widehat{\mathrm{BDC}}=180°\Rightarrow \widehat{\mathrm{BDC}}=90°$ (3)

Từ (1)(2)(3) ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BAD}}+\widehat{\mathrm{CAD}}<\widehat{\mathrm{BDC}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}<\widehat{\mathrm{BDC}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}<90° \end{gathered}$$

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác ABC cân tại A (vì AB = AC) có $\hat{\mathrm{A}}=40°$ nên

$\hat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{ACB}}=\frac{180°-40°}{2}=70°$

Mà $\widehat{\mathrm{ACB}}$ là góc ngoài của tam giác ACD nên

$\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{CAD}}+\widehat{\mathrm{CDA}}$

Lại có: $△\mathrm{CAD}$ cân tại C

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{CAD}}=\widehat{\mathrm{CDA}}=\mathrm{x}$(tính chất)

Nên:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{CAD}}+\widehat{\mathrm{CDA}}=2\mathrm{x} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{\widehat{\mathrm{ACB}}}{2}=\frac{70°}{2}=35° \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{x}=35°$

Đáp án: B

Giải thích:

Xét tam giác ABC có $\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ) và $\hat{\mathrm{A}}=40°; \hat{\mathrm{B}}-\hat{\mathrm{C}}=20°$

Suy ra $\hat{\mathrm{B}}+\hat{\mathrm{C}}=140°$ nên $\hat{\mathrm{B}}=\frac{140°+20°}{2}=80°; \hat{\mathrm{C}}=60°$

Xét tam giác AEB cân tại A (do AE = AB(gt)) nên $\widehat{\mathrm{AEB}}=\widehat{\mathrm{ABE}}$(tính chất)(1)

Lại có: $\widehat{\mathrm{BAC}}$ là góc ngoài tam giác AEB

 $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{AEB}}+\widehat{\mathrm{ABE}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}=20°$

Do đó $\widehat{\mathrm{CBE}}=\widehat{\mathrm{CBA}}+\widehat{\mathrm{ABE}}=80°+20°=100°$

Đáp án: B

Giải thích:

Lấy $\mathrm{E}\in \mathrm{AC}$ sao cho $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}$ mà $\mathrm{AD}=\mathrm{AB}+\mathrm{AC}$ nên $\mathrm{AC}=\mathrm{DE}$

$△\mathrm{ABE}$ cân có $\widehat{\mathrm{BAD}}=60°$ nên $△\mathrm{ABE}$ là tam giác đều suy ra $\mathrm{AE}=\mathrm{EB}$

Thấy $\widehat{\mathrm{BED}}=\widehat{\mathrm{EBA}}+\widehat{\mathrm{EAB}}=120°$ (góc ngoài tại đỉnh E của tam giác ABE) nên $\widehat{\mathrm{BED}}=\widehat{\mathrm{BAC}}\left(=120°\right)$

Suy ra $△\mathrm{EBD}=△\mathrm{ABC}\left(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}\right)\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (hai góc tương ứng bằng nhau) và $\mathrm{BD}=\mathrm{BC}$ (hai cạnh tương ứng)

Lại có: $\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_3}=60°$ nên $\widehat{{\mathrm{B}}_2}+\widehat{{\mathrm{B}}_3}=60°$

$△\mathrm{BCD}$ cân tại B có $\widehat{\mathrm{CBD}}=60°$ nên nó là tam giác đều

Đáp án: D

Giải thích:

+ Các tam giác AMB và ANC là tam giác đều (gt) nên $\widehat{\mathrm{MAB}}=60°, \widehat{\mathrm{NAC}}=60°$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{MAB}}+\widehat{\mathrm{NAC}}+\widehat{\mathrm{BAC}} \\ =60°+60°+60°=180° \end{gathered}$$

Suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng

+ Ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MAB}}+\widehat{\mathrm{BAC}}=60°+60°=120° \\ \widehat{\mathrm{BAN}}=\widehat{\mathrm{NAC}}+\widehat{\mathrm{BAC}}=60°+60°=120° \end{gathered}$$

Do đó $\widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{BAN}}$

Xét hai tam giác ABN và AMC có:

AB = AM (do tam giác AMB đều)

$\widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{BAN}}$ (cmt)

AN = AC (do tam giác ANC đều)

$\Rightarrow △\mathrm{ABN}=△\mathrm{AMC}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

$\Rightarrow \mathrm{BN}=\mathrm{CM}$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy cả A, B đều đúng

Đáp án: C

Giải thích:

$△\mathrm{ABC}$ cân tại $\hat{\mathrm{A}}$ nên

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{C}}=\frac{180°-\hat{\mathrm{A}}}{2} \\ =\frac{180°-120°}{2}=30° \end{gathered}$$

Ta có: $\widehat{\mathrm{CAD}}=\widehat{\mathrm{BAC}}-\widehat{\mathrm{BAD}}=120°-90°=30$

$△\mathrm{ADC}$ có $\hat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{CAD}}=30°$ nên $△\mathrm{ADC}$ cân tại D

$\Rightarrow$ $\mathrm{DC}=\mathrm{DA}$ (1)

Ta có: $\widehat{\mathrm{ADB}}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $△\mathrm{ADC}$ nên

$\widehat{\mathrm{ADB}}=\hat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{CAD}}=30°+30°=60°$

Trên cạnh BD lấy E sao cho $\widehat{\mathrm{BAE}}=30°$ thì E nằm giữa B và D

$△\mathrm{ABE}$ có: $\widehat{\mathrm{BAE}}=\hat{\mathrm{B}}=30°$ nên $△\mathrm{ABE}$ cân tại E

$\Rightarrow$ $\mathrm{AE}=\mathrm{BE}$ (2)

Ta có: $\widehat{\mathrm{DAE}}=\widehat{\mathrm{BAD}}-\widehat{\mathrm{BAE}}=90°-30°=60°$

$△\mathrm{ADE}$ có $\widehat{\mathrm{DAE}}=\widehat{\mathrm{ADE}}=60°$ nên $△\mathrm{ADE}$ là tam giác đều

$\Rightarrow$ $\mathrm{DA}=\mathrm{DE}=\mathrm{AE}$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra $\mathrm{DC}=\mathrm{DE}=\mathrm{EB}=\frac{1}{3}\mathrm{BC}$

Khi đó: $\mathrm{BD}=\mathrm{DE}+\mathrm{EB}=\frac{2}{3}\mathrm{BC}=\frac{2}{3}.6=4\left(\mathrm{cm}\right)$