Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác PQR và tam giác DEF có

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{P}}=\hat{\mathrm{Q}}=60° \\ \mathrm{PR}=\mathrm{DE} \\ \hat{\mathrm{R}}=\hat{\mathrm{E}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow △\mathrm{PQR}=△\mathrm{DFE}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\widehat{{\mathrm{M}}_1}=\widehat{{\mathrm{O}}_2}$ (hai góc so le trong)

$\widehat{{\mathrm{M}}_2}=\widehat{{\mathrm{O}}_1}$ (hai góc so le trong)

$\widehat{{\mathrm{O}}_1}=\widehat{{\mathrm{O}}_2}$ (do Oz là tia phân giác của góc xOy)

Do đó $\widehat{{\mathrm{M}}_1}=\widehat{{\mathrm{M}}_2}$

Xét tam giác AOM và tam giác BOM có:

$\widehat{{\mathrm{M}}_1}=\widehat{{\mathrm{M}}_2}$ (cmt)

OM cạnh chung

$\widehat{{\mathrm{O}}_1}=\widehat{{\mathrm{O}}_2}$ (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{AOM}=△\mathrm{BOM}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

Do đó: $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}; \mathrm{MA}=\mathrm{MB}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Đáp án: A

Giải thích:

Kẻ đoạn thẳng AD

Vì AB//CD (gt) nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{D}}_1}$ (hai góc so le trong)

Vì AC//BD (gt) nên $\widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{D}}_2}$ (hai góc so le trong)

Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:

$\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{D}}_1}$ (cmt)

AD là cạnh chung

$\widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{D}}_2}$ (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{ABD}=△\mathrm{DCA}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c})$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{CD}; \mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ (hai cạnh tương ứng)

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

$$\begin{gathered} \mathrm{AE}=\mathrm{AD} \left(\mathrm{gt}\right) \\ \hat{\mathrm{A}} \mathrm{chung} \\ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \left(\mathrm{gt}\right) \\ \Rightarrow △\mathrm{ABE}=△\mathrm{ACD}(\mathrm{c}.\mathrm{g}.\mathrm{c}) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{ACD}}; \widehat{\mathrm{ADC}}=\widehat{\mathrm{AEB}}$ (hai góc tương ứng) 

$\Rightarrow \mathrm{BE}=\mathrm{CD}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ A đúng

Lại có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{ADC}}+\widehat{\mathrm{BDC}}=180° \\ \widehat{\mathrm{AEB}}+\widehat{\mathrm{BEC}}=180° \end{gathered}$$

(hai góc kề bù)

Mà $\widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{ACD}}$ (cmt)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BDC}}=\widehat{\mathrm{BEC}}$

Lại có: AB = AC; AD = AE (gt)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{AB}-\mathrm{AD}=\mathrm{AC}-\mathrm{AE} \\ \Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{EC} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$C đúng

Xét tam giác KBD và tam giác KCE có:

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{ACD}} \left(\mathrm{cmt}\right) \\ \mathrm{BD}=\mathrm{EC} \left(\mathrm{cmt}\right) \\ \widehat{\mathrm{BDC}}=\widehat{\mathrm{BEC}} \left(\mathrm{cmt}\right) \\ \Rightarrow △\mathrm{KBD}=△\mathrm{KCE}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{KB}=\mathrm{KC}; \mathrm{KD}=\mathrm{KE}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$B đúng, D sai

Đáp án: B

Giải thích:

Xét tam giác DEF và tam giác HKG có

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{D}}=\hat{\mathrm{H}} \\ \hat{\mathrm{E}}=\hat{\mathrm{K}} \\ \mathrm{DE}=\mathrm{KG} \\ \Rightarrow △\mathrm{DEF}=△\mathrm{KGH}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \hat{\mathrm{H}}=\hat{\mathrm{F}}=75°$ (hai góc tương ứng)

Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

AB = DE

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{E}} \\ \hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{D}} \\ \Rightarrow △\mathrm{ABC}=△\mathrm{DEF}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{DE}=\mathrm{AC}=6\mathrm{cm}$ (hai cạnh tương ứng)

Đáp án: C

Giải thích:

Xét tam giác MNP và tam giác DEF có

MN = EF

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{M}}=\hat{\mathrm{F}} \\ \hat{\mathrm{N}}=\hat{\mathrm{E}} \\ \Rightarrow △\mathrm{MNP}=△\mathrm{FED}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{NP}=\mathrm{ED}=9\mathrm{cm}$ (hai cạnh tương ứng)

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}=90°$ (do $\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$)

Mà $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}=90°$ vì tam giác ABD vuông tại D

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (cùng phụ với $\widehat{{\mathrm{A}}_1}$)

Lại có: $\widehat{{\mathrm{A}}_2}+\widehat{{\mathrm{C}}_1}=90°$ vì tam giác ACE vuông tại E

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_1}$ (cùng phụ với $\widehat{{\mathrm{A}}_2}$)

Xét tam giác BDA và tam giác AEC có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{D}}=\hat{\mathrm{E}}=90° \\ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \left(\mathrm{gt}\right) \\ \widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_1} \left(\mathrm{cmt}\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow △\mathrm{BDA}=△\mathrm{AEC}$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{AE}, \mathrm{CE}=\mathrm{AD}$ ( hai cạnh tương ứng)

Do đó: $\mathrm{DE}=\mathrm{AD}+\mathrm{AE}=\mathrm{CE}+\mathrm{BD}$

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}=90°$ (do $\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$)

Mà $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}=90°$ vì tam giác ABD vuông tại D

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (cùng phụ với $\widehat{{\mathrm{A}}_1}$)

Xét tam giác BDA và tam giác AEC có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{D}}=\hat{\mathrm{E}}=90° \\ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \left(\mathrm{gt}\right) \\ \widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2} \left(\mathrm{cmt}\right) \end{gathered}$$

$\Rightarrow △\mathrm{BDA}=△\mathrm{AEC}$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{AE}, \mathrm{CE}=\mathrm{AD}$ ( hai cạnh tương ứng)

Do đó: $\mathrm{DE}=\mathrm{AD}+\mathrm{AE}=\mathrm{CE}+\mathrm{BD}=2+3=5\mathrm{cm}$

Đáp án: B

Giải thích:

Vì AK là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$

Theo giả thiết ta có:

$\text{BH⊥AK⇒BD⊥AK⇒}\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHD}}=90°$

Xét tam giác AHB và tam giác AHD có:

$\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{A}}_2}$ (cmt)

AH là cạnh chung

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHD}}=90° \\ \Rightarrow △\mathrm{AHB}=△\mathrm{AHD}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}) \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{HB}=\mathrm{HD}; \mathrm{AB}=\mathrm{AD}$ (hai cạnh tương ứng)

$\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{ADH}}$ (hai góc tương ứng)

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{N}}=90° \\ \mathrm{AC}=\mathrm{MP} \\ \hat{\mathrm{C}}=\hat{\mathrm{M}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow △\mathrm{ABC}=△\mathrm{PNM}$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác DEF và tam giác FBD có:

$\widehat{{\mathrm{D}}_1}=\widehat{{\mathrm{F}}_1}$ (hai góc so le trong)

DF là cạnh chung

$\widehat{{\mathrm{F}}_2}=\widehat{{\mathrm{D}}_2}$ (hai góc so le trong)

$\Rightarrow △\mathrm{DEF}=△\mathrm{FBD}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})$

$\Rightarrow \mathrm{EF}=\mathrm{BD}$ (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = BD nên EF = AD

Ta có: $\widehat{{\mathrm{F}}_3}=\hat{\mathrm{B}}$ (hai góc đồng vị); $\widehat{{\mathrm{D}}_3}=\hat{\mathrm{B}}$ (hai góc đồng vị)

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{D}}_3}=\widehat{{\mathrm{F}}_3}\left(=\hat{\mathrm{B}}\right)$

Xét tam giác ADE và tam giác EFC có:

$\widehat{{\mathrm{D}}_3}=\widehat{{\mathrm{F}}_3}$ (cmt)

$\hat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{E}}_1}$ (hai góc đồng vị)

AD = EF (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{ADE}=△\mathrm{EFC}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})\left(1\right)$

Tương tự chứng minh được $△\mathrm{EFC}=△\mathrm{DBF}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $△\mathrm{ADE}=△\mathrm{DBF}$ (3)

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm một điều kiện về góc kề cạnh đó $\hat{\mathrm{C}}=\hat{\mathrm{M}}$

Đáp án: B

Giải thích:

Vì BD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$ nên $\widehat{{\mathrm{B}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{ABC}}$

Vì CE là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ nên $\widehat{{\mathrm{C}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{ACB}}$

Xét $△\mathrm{ABC}$ có $\hat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180°$

(tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$)

Mà $\hat{\mathrm{A}}=60°$ nên 

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180°-\hat{\mathrm{A}} \\ =180°-60°=120° \end{gathered}$$

Ta lại có:

$$\begin{gathered} \widehat{{\mathrm{B}}_2}+\widehat{{\mathrm{C}}_2}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{ABC}}+\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{ACB}} \\ =\frac{1}{2}\left(\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}\right) \\ =\frac{1}{2}.120°=60° \end{gathered}$$

Xét $△\mathrm{BIC}$ có: $\widehat{\mathrm{BIC}}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}+\widehat{{\mathrm{C}}_2}=180°$

(tổng ba góc trong tam giác bằng )

Mà $\widehat{{\mathrm{B}}_2}+\widehat{{\mathrm{C}}_2}=60°$ nên

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{BIC}}=180°-\left(\widehat{{\mathrm{B}}_2}+\widehat{{\mathrm{C}}_2}\right) \\ \widehat{\mathrm{BIC}}=180°-60°=120° \end{gathered}$$

Mặt khác $\widehat{\mathrm{BIC}}+\widehat{\mathrm{BIE}}=180°$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BIE}}=180°-\widehat{\mathrm{BIC}}=180°-120°=60°$

Khi đó $\widehat{\mathrm{CID}}=\widehat{\mathrm{BIE}}=60°$ (hai góc đối đỉnh)(1)

Kẻ tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BIC}}$ cắt BC tại H

Suy ra $\widehat{\mathrm{BIH}}=\widehat{\mathrm{HIC}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{BIC}}=\frac{1}{2}.120°=60°$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{CID}}=\widehat{\mathrm{BIE}}=\widehat{\mathrm{BIC}}=\widehat{\mathrm{HIC}}$

Xét tam giác CID và tam giác CIH có:

$\widehat{{\mathrm{C}}_1}=\widehat{{\mathrm{C}}_2}$ (cmt)

CI là cạnh chung

$\widehat{\mathrm{CID}}=\widehat{\mathrm{HIC}}$ (cmt)

$\Rightarrow △\mathrm{CID}=△\mathrm{HIC}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})$

 $\Rightarrow \mathrm{ID}=\mathrm{IH}$(hai cạnh tương ứng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra ID = IE = 2cm

Đáp án: D

Giải thích:

Kéo dài OC cắt BD tại K. Khi đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{OD}\perp \mathrm{OC}\Rightarrow \mathrm{OD}\perp \mathrm{CK} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COD}}=\widehat{\mathrm{KOD}}=90° \\ \mathrm{AB}\perp \mathrm{DK}\Rightarrow \widehat{\mathrm{OBD}}=\widehat{\mathrm{OBK}}=90° \end{gathered}$$

Xét tam giác AOC và tam giác BOK có:

$\widehat{\mathrm{OAC}}=\widehat{\mathrm{OBK}}=90°$

OA = OB (O là trung điểm của AB)

$\widehat{\mathrm{AOC}}=\widehat{\mathrm{BOK}}$ (hai góc đối đỉnh)

$△\mathrm{AOC}=△\mathrm{BOK}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})$

$\Rightarrow \mathrm{OC}=\mathrm{OK}$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác DOC và tam giác DOK có:

OC = OK (cmt)

$\widehat{\mathrm{COD}}=\widehat{\mathrm{KOD}}=90°$

Cạnh OD chung

$\Rightarrow △\mathrm{DOC}=△\mathrm{DOK}\left(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{CD}=\mathrm{DK}$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: DK = DB + BK mà $\mathrm{CD}=\mathrm{DK}$ (cmt) nên $\mathrm{CD}=\mathrm{AC}+\mathrm{BD}$

Đáp án: A

Giải thích:

Kéo dài OC cắt BD tại K. Khi đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{OD}\perp \mathrm{OC}\Rightarrow \mathrm{OD}\perp \mathrm{CK} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{COD}}=\widehat{\mathrm{KOD}}=90° \\ \mathrm{AB}\perp \mathrm{DK}\Rightarrow \widehat{\mathrm{OBD}}=\widehat{\mathrm{OBK}}=90° \end{gathered}$$

Xét tam giác AOC và tam giác BOK có:

$\widehat{\mathrm{OAC}}=\widehat{\mathrm{OBK}}=90°$

OA = OB (O là trung điểm của AB)

$\widehat{\mathrm{AOC}}=\widehat{\mathrm{BOK}}$ (hai góc đối đỉnh)

$△\mathrm{AOC}=△\mathrm{BOK}(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g})$

$\Rightarrow \mathrm{OC}=\mathrm{OK}$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác DOC và tam giác DOK có:

OC = OK (cmt)

$\widehat{\mathrm{COD}}=\widehat{\mathrm{KOD}}=90°$

Cạnh OD chung

$\Rightarrow △\mathrm{DOC}=△\mathrm{DOK}\left(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{CD}=\mathrm{DK}$ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: DK = DB + BK mà $\mathrm{CD}=\mathrm{DK}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\mathrm{CD}=\mathrm{AC}+\mathrm{BD}=5+2=7\mathrm{cm}$

Vậy CD = 7cm

Đáp án: B

Giải thích:

Ta thấy hai tam giác ABC và MNP có hai yếu tố về góc $\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{M}}$, $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{N}}$

Để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là AB = MN