17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

Câu 1:

23/07/2024

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

$1.4 + 2.7 + \cdot \cdot \cdot + n (3 n + 1) = n {(n + 1)}^{2}$ (1)

Xem đáp án

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1.4 = 4; vế phải của (1) = $1 . {(1 + 1)}^{2}$ = 4.

Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4 + 2.7 + \cdot \cdot \cdot + k (3 k + 1) = k {(k + 1)}^{2} (2)$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

$1.4 + 2.7 + \cdot \cdot \cdot + k (3 k + 1) + (k + 1) (3 k + 4) = (k + 1) {(k + 2)}^{2}$

Thật vậy $\underset{= k {(k + 1)}^{2}}{\underset{⏟}{1.4 + 2.7 + \cdot \cdot \cdot + k (3 k + 1)}} + (k + 1) (3 k + 4) = k {(k + 1)}^{2} + (k + 1) (3 k + 4)$

$= (k + 1) . [k . (k + 1) + 3 k + 4] = (k + 1) . (k^{2} + 4 k + 4) = (k + 1) {(k + 2)}^{2}$ (đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 2:

16/07/2024

Với mỗi số nguyên dương n, gọi $u_{n} = 9^{n} - 1$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

Xem đáp án

* Ta có $u_{1} = 9^{1} - 1 = 8$ chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử $u_{k} = 9^{k} - 1$ chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh $u_{k + 1} = 9^{k + 1} - 1$ chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có $u_{k + 1} = 9^{k + 1} - 1 = {9.9}^{k} - 1 = 9 (9^{k} - 1) + 8 = 9 u_{k} + 8$ .

Vì $9 u_{k}$ và 8 đều chia hết cho 8, nên $u_{k + 1}$ cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_{n}$ chia hết cho 8.

Câu 3:

23/07/2024

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có: $2^{n + 1} > 2 n + 3$ (*)

Xem đáp án

* Với n = 2 ta có $2^{2 + 1} > 2.2 + 3 \Leftrightarrow 8 > 7$ (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

* Giả sử với n = k $, k \geq 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k + 1} > 2 k + 3$ (1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

$2^{k + 2} > 2 (k + 1) + 3$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

${2.2}^{k + 1} > 2 (2 k + 3) \Leftrightarrow 2^{k + 2} > 4 k + 6 > 2 k + 5$ .

( vì 4k + 6 > 4k + 5 > 2k + 5 )

Hay $2^{k + 2} > 2 (k + 1) + 3$

Vậy (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\geq 2$

Câu 4:

21/07/2024

Tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ theo n của dãy số sau $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 2 \end{cases}$

A. $u_{n} = 3 n + n^{2} - 1$

B. $u_{n} = 2 n + 1$

C. $u_{n} = 4 n - 10$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có:

$u_{2} = u_{1} + 2 = 3 + 2 = 5.$

$u_{3} = u_{2} + 2 = 5 + 2 = 7.$

$u_{4} = u_{3} + 2 = 7 + 2 = 9.$

$u_{5} = u_{4} + 2 = 9 + 2 = 11.$

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_{n}$ có dạng:

$u_{n} = 2 n + 1 \forall n \geq 1 (*)$

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.

Với n =1 ; $u_{1} = 2.1 + 1 = 3$ (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*) đúng với n =k. Có nghĩa ta có: $u_{k} = 2 k + 1$ (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:

$u_{k + 1}$ = 2(k+1)+1= 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k + 1}$ = $u_{k}$ +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k+1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B

Câu 5:

17/07/2024

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_{n})$ biết: $u_{n} = \frac{1}{n} - 2$

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm

Xem đáp án

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - 2 - (\frac{1}{n} - 2) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{n (n + 1)} < 0 \forall n \in ℕ *$

Kết luận dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm.

Chọn đáp án B

Câu 6:

16/07/2024

Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 3}; n \in N *$

A. Dãy số giảm, bị chặn trên

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số tăng, bị chặn.

D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

Xem đáp án

Xét hiệu: $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 4} - \frac{2 n - 1}{n + 3}$

$= \frac{2 n^{2} + 7 n + 3 - 2 n^{2} - 7 n + 4}{(n + 4) (n + 3)} = \frac{7}{(n + 4) (n + 3)} > 0; \forall n \in N *$

Vậy: $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Ta có $u_{n} = \frac{2 n - 1}{n + 3} = \frac{2 (n + 3) - 7}{n + 3} = 2 - \frac{7}{n + 3}$

Suy ra: $\forall n \in ℕ *, u_{n} < 2$ nên $(u_{n})$ bị chặn trên.

Vì $(u_{n})$ là dãy số tăng $\forall n \in ℕ *, u_{1} = \frac{1}{4} \leq u_{n}$ nên $(u_{n})$ bị chặn dưới. Vậy $(u_{n})$ bị chặn.

Chọn đáp án C.

Câu 7:

22/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2}$ . Số $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ mấy?

A. 300

B. 212

C. 250

D. 249

Xem đáp án

Giả sử $u_{n} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow \frac{2 n + 1}{n + 2} = \frac{167}{84} \Leftrightarrow 84 (2 n + 1) = 167 (n + 2)$

$\Leftrightarrow 168 n + 84 = 167 n + 334 \Leftrightarrow n = 250$

Vậy $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ 250 của dãy số $(u_{n})$ .

Chọn đáp án C.

Câu 8:

20/07/2024

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp $n^{3} + 11 n$ chia hết cho 6.

Xem đáp án

* Với n =1 ta có $1^{3} + 11.1 = 12$ chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì $k^{3} + 11 k$ chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1 thì ${(k + 1)}^{3}$ + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

${(k + 1)}^{3} + 11 (k + 1) = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1 + 11 k + 11 = (k^{3} + 11 k) + 3 k (k + 1) + 12 (*)$

Ta có; $k^{3}$ +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 $\Rightarrow 3 k (k + 1) ⋮ 6$

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).

Câu 9:

19/07/2024

Tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_{n}$ theo n của dãy số sau $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2 u_{n} . \end{cases}$

A. $u_{n} = n^{2} - 3 n + 10$

B. $u_{n} = 2^{n}$

C. $u_{n} = 2 n$

D. $u_{n} = n + 2$

Xem đáp án

* Ta có:

$u_{2} = 2 u_{1} = 2.2 = 4 = 2^{2} u_{3} = 2 u_{2} = 2.4 = 8 = 2^{3} u_{4} = 2 u_{3} = 2.8 = 16 = 2^{4} u_{5} = 2 u_{4} = 2.16 = 32 = 2^{5}$

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_{n}$ có dạng: $u_{n} = 2^{n} \forall n \geq 1 (*)$

* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*) đúng.

Với n=1 ; có: $u_{1} = 2^{1} = 2$ (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1

Giả sử (*) đúng với n= k , có nghĩa ta có: $u_{k} = 2^{k}$ (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k + 1} = 2^{k + 1}$ .

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k + 1} = 2 u_{k} = 2 . 2^{k} = 2^{k + 1}$

Vậy (*) đúng với n = k+1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B.

Câu 10:

20/07/2024

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_{n})$ biết: $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}$

A. Dãy số giảm.

B. Dãy số không tăng không giảm

C. Dãy số không đổi.

D. Dãy số tăng

Xem đáp án

Ta có $u_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1}$

Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n} = 1 - \frac{2}{n + 2} - (1 - \frac{2}{n + 1})$

$= \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} = \frac{2 ( n + 2) - 2 (n + 1)}{(n + 1) . (n + 2)} = \frac{2}{(n + 1) (n + 2)} > 0 \forall n \in ℕ *$

Kết luận dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Chọn đáp án D.

Câu 11:

23/07/2024

Cho dãy số $u_{n} = \frac{7 n + 5}{5 n + 7}$ . Tìm mệnh đề đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số tăng và bị chặn dưới

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Xem đáp án

Công thức $u_{n}$ được viết lại: $u_{n} = \frac{7}{5} - \frac{24}{5 (5 n + 7)}$

Xét hiệu số: $u_{n + 1} - u_{n} = (\frac{7}{5} - \frac{24}{5 [5 (n + 1) + 7]}) - (\frac{7}{5} - \frac{24}{5 (5 n + 7)})$

$= \frac{24}{5} (\frac{1}{5 n + 7} - \frac{1}{5 (n + 1) + 7}) > 0 \forall n \geq 1.$

$\Rightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ . Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Ta có: $0 < \frac{1}{5 n + 7} \leq \frac{1}{12} \forall n \geq 1$

$\Leftrightarrow 0 > - \frac{24}{5 (5 n + 7)} \geq - \frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{7}{5} > \frac{7}{5} - \frac{24}{5 (5 n + 7)} \geq \frac{7}{5} - \frac{2}{5} \Leftrightarrow 1 \leq u_{n} < \frac{7}{5} .$

Suy ra $(u_{n})$ là một dãy số bị chặn.

Kết luận $(u_{n})$ là một dãy số tăng và bị chặn.

Chọn đáp án A.

Câu 12:

23/07/2024

Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n})$ biết: $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$

A. Dãy số bị chặn trên

B. Dãy số bị chặn dưới.

C. Dãy số bị chặn

D. Tất cả sai.

Xem đáp án

Rõ ràng $u_{n} > 0, \forall n \in ℕ *$ nên $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Lại có: $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ .

Suy ra $u_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1, \forall n \in ℕ *$ nên $(u_{n})$ bị chặn trên.

Kết luận $(u_{n})$ bị chặn.

Chọn đáp án C.

Câu 13:

21/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{matrix} u_{1} = 11 \\ u_{n + 1} = 10 u_{n} + 1 - 9 n \end{matrix}$ . Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ theo n

A. $u_{n} = 100 + 2 n$

B. $u_{n} = 10^{n} + n$

C. $u_{n} = 100 n - n^{2}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Ta có: $u_{1}$ =11 = 10 + 1

$u_{2}$ = 10.11 +1 – 9 =102 =100 +2= $10^{2}$ +2

$u_{3}$ =10.102 +1 – 9.2 = 1003 = 1000 + 3 = $10^{3}$ + 3

Từ đó dự đoán $u_{n} = 10^{n} + n$ (1). Chứng minh:

Với n =1 ta có : $u_{1} = 10^{1}$ + 1 = 11 (đúng).

Giả công thức (1) đúng với n = k, ta có $u_{k} = 10^{k} + k$ (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Có nghĩa chứng minh $u_{k + 1} = 10^{k + 1} + (k + 1) .$

Thật vậy : $u_{k + 1} = 10 . (10^{k} + k) + 1 - 9 k = 10^{k + 1} + (k + 1)$

Kết luận : $u_{n} = 10^{n} + n$ .

Chọn đáp án B.

Câu 14:

22/07/2024

Xét tính tăng giảm của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Dãy số không đổi.

Xem đáp án

Dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}$

Dễ thấy $u_{n} > 0 \forall n \in N^{*}$ . Xét tỉ số: $\frac{u_{n}}{u_{n + 1}}$

Ta có: $\frac{u_{n}}{u_{n + 1}} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}} . \frac{2^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} = \frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} > 1 (\forall n \geq 1)$

Thật vậy: $\frac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{4 n}{n + 1} > 1 \Leftrightarrow 4 n > n + 1 \Leftrightarrow 3 n > 1$ ( đúng $\forall n \geq 1$ )

Do đó, $u_{n} > u_{n} + 1$ nên $(u_{n})$ là một dãy số giảm.

Chọn đáp án B.

Câu 15:

21/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Dãy số là dãy hữu hạn

Xem đáp án

Ta có $u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0, \forall n \in ℕ^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}}$

Xét tỉ số

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}} . \frac{n^{2}}{5^{n}} = \frac{5 n^{2}}{n^{2} + 2 n + 1} = \frac{n^{2} + 2 n + 1 + 4 n^{2} - 2 n - 1}{n^{2} + 2 n + 1} = 1 + \frac{2 n (n - 1) + 2 n^{2} - 1}{n^{2} + 2 n + 1} > 1, \forall n \in ℕ^{*}$

$\begin{array}{l} (n - 1 \geq 0 \Rightarrow 2 n (n - 1) \geq 0; 2 n^{2} - 1 \geq 2.1 - 1 = 1 \\ \Rightarrow 2 n (n - 1) + 2 n^{2} - 1 > 0 \forall n \in N *) \end{array}$

Vậy $(u_{n})$ là dãy số tăng

Chọn đáp án A

Câu 16:

21/07/2024

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Dãy số bị chặn dưới.

B. Dãy số bị chặn trên.

C. Dãy số bị chặn.

D. Không bị chặn

Xem đáp án

Ta có: $\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{(k - 1) k} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}, \forall k \geq 2$

Suy ra $u_{n} < \frac{1}{2} + (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + ... + (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = \frac{3}{2} - \frac{1}{n} < \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 0 < u_{n} < \frac{3}{2}, \forall n \in ℕ *$

Vậy $(u_{n})$ bị chặn

Chọn đáp án C.

Câu 17:

18/07/2024

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_{n})$ , biết: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

A. Dãy số tăng, bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét hiệu:

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{(2 n - 11) . (3 n - 2) - (2 n - 13) . (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)} = \frac{6 n^{2} - 4 n - 33 n + 22 - (6 n^{2} + 2 n - 39 n - 13)}{(3 n + 1) . (3 n - 2)} = \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0$

với mọi $n \geq 1$ .

Suy ra $u_{n + 1} > u_{n} \forall n \geq 1 \Rightarrow$ dãy $(u_{n})$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_{n} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \Rightarrow u_{n} < \frac{2}{3} \forall n \geq 1$

Suy ra $(u_{n})$ bị chặn trên

$\begin{array}{l} \forall n \geq 1 : 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3.1} = \frac{35}{3} \\ \Rightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11 \end{array}$

Nên $(u_{n})$ bị chặn dưới.

Vậy dãy $(u_{n})$ là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3