Lời giải

+ Đáp án A là hình thang cân

+ Đáp án C là hình thang cân

+ Đáp án D chưa đủ điều kiện để là hình bình hành

+ Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành ta thấy một tứ giác là hình bình hành nếu có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên đáp án B đúng

Lời giải

Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi

Lời giải

Tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang. Lại thêm có 2 đường chéo bằng nhau nên tứ giác đó là hình thang cân

Lời giải

+ Hình vuông là tứ giác có 4 trục đối xứng

+ Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng là hai đường trung trực của các cạnh

+ Hình bình hành không có trục đối xứng

+ Hình thoi có 2 trục đối xứng là 2 đường chéo

Lời giải

Lời giải

Lời giải

Độ dài một đường trung bình của tam giác là: 14 : 2 = 7cm

Lời giải

Tổng độ dài hai đáy là: 3.2 = 6 (cm)

Chu vi hình thang là: 2,5.2 + 6 = 11 (cm)

Lời giải

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5cm.

Xét tam giác ABD vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BD² + AB² + AD²

= 5² + 5² = 50

=> BD = $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ (cm)

Lời giải

Giả sử hình thoi ABCD có hai đường chéo AC = 16cm, BD = 12cm cắt nhau tại O.

Theo tính chất hình thoi ta có AC vuông góc với BD, O là trung điểm của AC, BD

Do đó:

OA = $\frac{1}{2}$AC = 16 : 2 = 8 (cm) ;

OB = $\frac{1}{2}$BD = 12 : 2 = 6 (cm)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABO vuông tại O ta có:

AB² = OA² + OB²

= 6² + 8² = 100

=> AB = 10(cm)

Vậy độ dài cạnh hình thoi là 10cm

Lời giải

- Hình thang ABCD có

$\left.\begin{array}{l}AM=MD\left(gt\right)\\ BN=NC\left(gt\right)\end{array}\right\}$

 => MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

=> MN // AB // CD (tính chất)

- Tam giác ABD có: $\left.\begin{array}{l}AM=MD\\ MI//AB\end{array}\right\}$

 => ID = IB (định lý đảo về đường trung bình của tam giác).

=> MI là đường tủng bình của ΔADB

=> MI = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$.6 = 3(cm)

- Tương tự tam giác ACD có:

AM = MD, MK // DC nên AK = KC, hay MK là đường trung bình của tam giác ACD, ta có:

MK =$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$.14 = 7(cm)

=> IK = MK – MI = 7 – 3 = 4(cm)

Vậy MI = 3cm; IK = 4cm

Lời giải

Xét hình bình hành ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, DC = 2BC nên AE = EB = BC = CF = DF = AD; AB // CD, AD // BC

Xét tứ giác DEBF có

$\left\{\begin{array}{l}EB//DF\\ EB=DF\end{array}\right.$

 nên DEBF là hình bình hành

Xét tứ giác AEFD có AE = DF; AE // DF nên AEDF là hình bình hành,

lại có AE = AD nên hình bình hành AEFD là hình thoi.

Tương tự ta cũng có EBCF là hình thoi. Nhận thấy chưa đủ điều kiện để EBCF là hình vuông.

Nên A, B đúng, C sai.

Lời giải

ΔABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao

=> AM ⊥ BC => $\widehat{AMC}$ = 90⁰. (1)

Xét tứ giác AMCK có AC cắt MK tại I, mà AI = IC, MI = IK (gt)

=> Tứ giác AMCk là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) (2)

Từ (1) và (2) => AMCK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Lời giải

Tứ giác AMCK là hình chữ nhật (câu trên)

=> AK // CM => AK // BM (3)

Mà AK = MC (AMCK là hình chữ nhật) và MC = MB (gt)

=> AK = BM (4)

Từ (3) và (4) => Tứ giác AKMB là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lời giải

Do AB // CD (giả thiết) nên BI // CD

Mặt khác BI = AB (gt) ; AB = CD (gt) => BI = CD

Vậy BICD là hình bình hành (1)

Theo giả thiết ta có

BI = AB = AF = FD

=> AI = AD mà $\widehat{IAD}$ = 60⁰ (gt) nên tam giác ADI đều.

Xét tam giác ADI đều có BD là trung tuyến đồng thời là đường cao.

=> $\widehat{DBI}$ = 90⁰ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BICD là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Lời giải

Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

Q là trung điểm của AD (gt)

=> QM là đường trung bình của tam giác ABD. (định lý)

Do đó QM // BD và QM = $\frac{1}{2}$BD (1)

Tương tự ta cũng có NP là đường trung bình của tam giác BCD.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}NP//BD\\ NP=\frac{1}{2}BD\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Tương tự ta cũng có MN là đường trung bình của tam giác BAC

nên MN // AC và MN = $\frac{1}{2}$AC

Để hình bình hành MNPQ là hình vuông 

$\iff \left\{\begin{array}{l}MN\perp NP\\ MN=NP\end{array}\right.$ 

+ Để MN ⊥ NP $\iff$ AC ⊥ BD

(vì MN // AC, NP // BD)

+ Để MN = NP $\iff$ AC = BD

(vì MN =$\frac{1}{2}$ AC, NP = $\frac{1}{2}$BD)

Vậy điều kiện cần để MNPQ là hình vuông là BD = AC; AC ⊥ BD

Lời giải

Xét ΔADE có: AM = MD; DQ = EQ nên MQ là đường trung bình của ΔADE

=> MQ // AE, MQ = $\frac{1}{2}$AE

Xét ΔAEF có: AN = NF; FP = PE (giả thiết) nên NP là đường trung bình của ΔAEF.

=> NP // AE , NP = $\frac{1}{2}$AE

Suy ra MQ // NP (cùng // AE)

và MQ = NP (=$\frac{1}{2}$AE)

Tứ giác MNPQ có: MQ // NP và MQ = NP nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để MNPQ là hình chữ nhật thì MN ⊥  PQ (1)

Ta có: NP // AE (chứng minh trên) (2)

Ta lại có: AM = MD, AN = NF (gt)

=> MN // DF

Mặt khác: AD = DB, AF = FC (gt)

=> DF // BC

Vậy MN // BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AE ⊥  BC

Mà BE = EC (gt)

Do đó ΔABC cân tại A (do AE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)

Lời giải

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A dựng tam giác BHC vuông cân đỉnh B

Xét tam giác BHD và tam giác BCA có:

DB = BA (vì ADBE là hình vuông)

$\widehat{ABH}=\widehat{ABC}$ (vì cùng phụ với góc HBA)

BH = BC (vì tam giác BHC vuông cân đỉnh B)

Do đó: ΔBHD = ΔBCA (c.g.c),

suy ra DH = AC, $\widehat{BHD}=\widehat{BCA}$

AC cắt HD tại K, cắt BH tại I.

Xét tam giác IHK và tam giác ICB có:

$\widehat{HIK}=\widehat{CIB}$ (đối đỉnh), $\widehat{BHD}=\widehat{BCA}$,

do đó $\widehat{HIK}=\widehat{IBC}$ = 90⁰

=> KC ⊥ DH

Mặt khác KC ⊥ CF, do đó DH // CF

Ta có DH = CF (=AC) và DH // CF nên DHCF là hình bình hành

Mà M là trung điểm của DF nên M là trung điểm của HC, suy ra tam giác MBC vuông cân đỉnh M

Lời giải

Vẽ EF ⊥ AM (F Є AB), EG ⊥ AB (G Є AB).

Tứ giác AGED là hình chữ nhật (vì $\hat{G}=\hat{A}=\hat{D}$ = 90⁰), suy ra GE = AD

Lại thấy $\widehat{FEG}=\widehat{MAB}$ (vì cùng phụ với $\widehat{AFE}$)

Xét ΔGEF và ΔBAM có:

$\widehat{EGF}=\widehat{ABM}$ = 90⁰;

GE = AB (= CD); 

$\widehat{FEG}=\widehat{MAB}$

Do đó ΔGEF = ΔBAM (g.c.g)

suy ra EF = AM

Tam giác AEF có AM là đường phân giác và là đường cao nên tam giác AEF cân đỉnh A

Ta có AM là đường trung trực của EF, nên ME – MF

Xét ba điểm M, E, F ta có:

EF ≤ ME + MF $\Rightarrow$ EF ≤ 2ME.

Do đó AM ≤ 2ME

=> $\frac{AM}{MB+AM}=\frac{3}{8+3}$ 

=>$\frac{AM}{AB}=\frac{3}{11}$