30 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Tính $\int \frac{d x}{\sqrt{1 - x}}$ thu được kết quả là:

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: =−2√1−x+C

Câu 2:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ là:

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải.

Ta có : $I = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 - x^{2}}$

$\Rightarrow t^{2} = 1 - x^{2}$

$\Rightarrow - t d t = x d x$

Khi đó: $I = - \int \frac{(1 - t^{2})}{t} t d t$

$= \int (t^{2} - 1) d t = \frac{t^{3}}{3} - t + C$

Thay $I = \frac{{(\sqrt{1 - x^{2}})}^{3}}{3} - \sqrt{1 - x^{2}} + C$

(x2+2)√1−x2+C

Câu 3:

Tính

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $F (x) = \int d (\sqrt{2 \ln x + 1}) = \sqrt{2 \ln x + 1} + C$

Câu 4:

20/07/2024

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ là

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $\int (x^{3} - 3 x + \frac{1}{x}) d x$

+ln|x|+C

Câu 5:

Nguyên hàm của hàm số $(\frac{1}{3}; + \infty)$ là:

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $\int \sqrt{3 x - 1} . d x$

$= \frac{1}{3} . \frac{2}{1 + 2} \sqrt{{(3 x - 1)}^{3}} + C$

√(3x−1)3+C

Câu 6:

Tính dx

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $\int \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

$= \frac{1}{4} \int \frac{d (x^{4} - 1)}{x^{4} - 1}$

ln∣∣x4−1∣∣+C

Câu 7:

Một nguyên hàm của hàm số $y = \sin 3 x$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải.

Ta có:

cos3x+C

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}}$ . Khi đó:

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $\int \frac{5 + 2 x^{4}}{x^{2}} d x$

$= \int (\frac{5}{x^{2}} + 2 x^{2}) d x$

+C

Câu 9:

13/07/2024

Một nguyên hàm của hàm số: $f (x) = x \sqrt{1 + x^{2}}$ là:

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải.

Ta có : $I = \int x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Đặt $t = \sqrt{1 + x^{2}}$

$\Rightarrow t^{2} = 1 + x^{2}$

$\Rightarrow t d t = x d x$

Khi đó: $I = \int t . t d t = \frac{t^{3}}{3} + C$

Thay +C

Câu 10:

Họ các nguyên hàm của hàm số $y = \sin 2 x$ là:

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: cos2x+C

Câu 11:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện: )=3

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $F (x) = \int (2 x - 3 \cos x) d x$

$= x^{2} - 3 \sin x + C$

$F (\frac{π}{2}) = 3$

$\Leftrightarrow {(\frac{π}{2})}^{2} - 3 \sin \frac{π}{2} + C = 3$

$\Leftrightarrow C = 6 - \frac{π^{2}}{4}$

Vậy

Câu 12:

Một nguyên hàm F(x) của hàm số $F (\frac{π}{4}) = - 1$ là:

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $F (x) = \int (2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$

$= x^{2} - \cot x + C$

$F (\frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow {(\frac{π}{4})}^{2} - \cot \frac{π}{4} + C = - 1$

$\Leftrightarrow C = \frac{π^{2}}{16}$

Vậy

Câu 13:

Cho hàm số $x = 0$ là:

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải.

Ta có: $F (x) = \int \cos 3 x . \cos . d x$

$= \frac{1}{2} \int (\cos 2 x + c o s 4 x) d x$

$= \frac{1}{8} \sin 4 x + \frac{1}{4} \sin 2 x + C$

Vậy

Câu 14:

20/07/2024

Nguyên hàm $\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x$ là:

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Phân tích:

Ta có:

$\int [\sin^{2} (3 x + 1) + \cos x] d x$

$= \int [\frac{1 - \cos (6 x + 2)}{2} + \cos x] d x$

$= \int [\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (6 x + 2) + \cos x] d x$

x−3sin(6x+2)+sinx+C

Câu 15:

Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số $F (3) = 6$ là:

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải.

Phân tích:

Ta có: $\int (\sqrt{x + 1} - \frac{1}{x^{2}}) d x$

$= \frac{2}{3} \sqrt{{(x + 1)}^{3}} + \frac{1}{x} + C$

Theo đề bài, ta lại có: $F (3) = 6$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \sqrt{{(3 + 1)}^{3}} + \frac{1}{3} + C = 6$

$\Leftrightarrow C = \frac{1}{3}$

Câu 16:

Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số $F (0) = 1$ là:

D. Đáp án A và B.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Phân tích:

Ta có:

$\int [4 x^{3} + 2 (m - 1) x + m + 5] d x$

$= x^{4} + (m - 1) x^{2} + (m + 5) x + C$

Lại có:

$\{\begin{cases} F (0) = 1 \\ F (1) = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 1 \\ 1 + m - 1 + m + 5 + C = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C = 1 \\ m = 1 \end{cases}$

Vậy $F (x) = x^{4} + 6 x + 1$ .

Câu 17:

Nguyên hàm của $\int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$ là:

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Phân tích:

Đặt $t = x^{2} + 1 \Rightarrow d t = 2 x d x$

$\Rightarrow \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = ...$

ln|t|+C

Câu 18:

23/07/2024

Kết quả nào dưới đây không phải là nguyên hàm của $\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$ ?

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Phân tích:

Ta có:

$\int (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x$

$= 3 \cos x . \sin^{2} x - 3 \sin x . \cos^{2} x + C$

$= \frac{3}{2} \sin 2 x (\sin x - \cos x) + C$

)+C

Câu 19:

Với phương pháp đổi biến số $\int \frac{\ln 2 x}{x} d x$ bằng:

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Phân tích:

Đặt $t = \ln 2 x \Rightarrow d t = 2. \frac{1}{2 x} d x$

$\Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x$

$\Rightarrow \int \frac{\ln 2 x}{x} d x = ...$

t2+C

Câu 20:

Với phương pháp đổi biến số $\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ bằng:

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Phân tích:

Ta đặt : $x = \tan t, t \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$

$\Rightarrow d x = \frac{1}{\cos^{2} t} d t$

$\Rightarrow \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = ...$

$= \int d t = t + C$

Câu 21:

12/07/2024

Với phương pháp đổi biến số $I = \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}} d x$ bằng:

A. sint+C

B. −t+C

C. −cost+C

D. t+C

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Phân tích:

Ta biến đổi: $I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}} d x$ .

Đặt $x - 1 = 2 \sin t, t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

$\Rightarrow d x = 2 \cos t d t$

$\Rightarrow I = \int d t = t + C$

Câu 22:

17/07/2024

Tìm $I = \int \frac{e^{x} (3 x - 2) + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$ ?

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

$I = \int \frac{e^{x} (3 x - 2) + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

$= \int \frac{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

Đặt : $t = e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1$

$\Rightarrow d t = (\frac{e^{x}}{2 \sqrt{x - 1}} + e^{x} \sqrt{x - 1}) d x$

$= \frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 \sqrt{x - 1}} d x$

Vậy $\Rightarrow I = \int d x + \int \frac{e^{x} (2 x - 1)}{\sqrt{x - 1} (e^{x} \sqrt{x - 1} + 1)} d x$

$= x + \int \frac{1}{t} d t = x + \ln |t| + C$

$= x + \ln (e^{x} . \sqrt{x - 1} + 1) + C$

Câu 23:

18/07/2024

Tìm $J = \int e^{x} . s i n x d x$ ?

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đặt : $\{\begin{cases} u_{1} = e^{x} \\ d v_{1} = \sin x . d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u_{1} = e^{x} . d x \\ v_{1} = - \cos x \end{cases}$

$\Rightarrow J = - e^{x} \cos x + \int e^{x} \cos x d x$

$= - e^{x} \cos x + T (T = \int e^{x} . \cos x d x)$

Tính $T = \int e^{x} . \cos x d x$ :

Đặt : $\{\begin{cases} u_{2} = e^{x} \\ d v_{2} = \cos x . d x \end{cases}$

Câu 24:

17/07/2024

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}})$ ?

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Đặt : $\{\begin{cases} u = \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) \\ d v = x^{3} d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{16 x}{x^{4} - 16} \\ v = \frac{x^{4}}{4} - 4 = \frac{x^{4} - 16}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow \int x^{4} \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) d x$

$= (\frac{x^{4} - 16}{4}) \ln (\frac{4 - x^{2}}{4 + x^{2}}) - \int 4 x d x$

)−2x2+C

Câu 25:

Tìm $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ?

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Từ (1);(2) ta có hệ: $\{\begin{cases} I + T = x + C_{1} \\ I - T = - \ln |\sin x + \cos x| + C_{2} \end{cases}$

Câu 26:

17/07/2024

Tìm $Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$ ?

D. Cả đáp án B,C đều đúng.

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Điều kiện :

$\frac{x - 1}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < - 1 \end{array}$

Trường hợp 1 : Nếu $x \geq 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

Trường hợp 2: Nếu $x < - 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{1 - x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$

Câu 27:

Tìm $T = \int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!}} d x$ ?

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Điều kiện :

$\frac{x - 1}{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < - 1 \end{array}$

Trường hợp 1 : Nếu $x \geq 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \sqrt{x^{2} - 1} - \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| + C$

Trường hợp 2: Nếu $x < - 1$ thì

$Q = \int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} d x$

$= \int \frac{1 - x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x - \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

$= \ln |x + \sqrt{x^{2} - 1}| - \sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy đáp án đúng là đáp án D.

Câu 28: