Ta có:

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{x}}^2-18=0\Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2=18 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2=9 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=3 \mathrm{hoặc} \mathrm{x}=-3 \end{gathered}$$

Vậy x = 3; x = -3 là nghiệm của đa thức

Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức $2{\mathrm{x}}^2-18$ là $3-\left(-3\right)=6$

$\mathrm{P}\left(0\right)=3.0^2-10.0+7=7\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=0$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(-1\right)=3.{\left(-1\right)}^2-10.\left(-1\right)+7=20\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(1\right)=3.{\left(1\right)}^2-10.1+7=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ là nghiệm của P(x)

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(-\frac{7}{3}\right)=3.{\left(-\frac{7}{3}\right)}^2-10.\left(-\frac{7}{3}\right)+7 \\ \Rightarrow \mathrm{P}\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{140}{3}\ne 0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{7}{3}$ không là nghiệm của P(x)

Vậy $\mathrm{x}=1$ là nghiệm của P(x)

Ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^3+27=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^3=-27 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^3={\left(-3\right)}^3\Rightarrow \mathrm{x}=-3 \end{gathered}$$

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là x = -3

$\mathrm{P}\left(0\right)=0^2+1.0-2=-1\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=0$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2+1.\left(-1\right)-2=-2\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(1\right)=1^2+1.1-2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(2\right)=2^2+1.2-2=4\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=2$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2+1.\left(-2\right)-2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-2$ là nghiệm của P(x)

Vậy $\mathrm{x}=1; \mathrm{x}=-2$ là nghiệm của P(x)

$\mathrm{f}\left(-9\right)=2.9^2+12.\left(-9\right)+10=64\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-9$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(1\right)=2.1^2+12.1+10=24\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-1\right)=2.1^2+12.\left(-1\right)+10=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-4\right)=2.{\left(-4\right)}^2+12.\left(-4\right)+10=-6\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-4$ không là nghiệm của f(x)

Ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^3-64=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^3=64 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^3=4^3\Rightarrow \mathrm{x}=4 \end{gathered}$$

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là x = 4

$\mathrm{f}\left(2\right)=2.2^2+5.2+2=20\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=2$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(1\right)=2.1^2+5.1+2=9\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-1\right)=2.{\left(-1\right)}^2+5.\left(-1\right)+2=-1\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-2\right)=2.{\left(-2\right)}^2+5.\left(-2\right)+2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-2$ là nghiệm của f(x)

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+9 \\ ={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-9\mathrm{x}+9 \\ =\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)-\left(9\mathrm{x}-9\right) \\ =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-9\left(\mathrm{x}-1\right) \\ =\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-9\right) \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-9\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=0\\ \mathrm{x}-9=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=9\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và 9

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2-16=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=16 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4\\ \mathrm{x}=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 4; x = -4 là nghiệm của đa thức ${\mathrm{x}}^2-16$

Tổng các nghiệm là $4+\left(-4\right)=0$

Ta có:

$$\begin{gathered} 5{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}=0\Rightarrow 5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}-2=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức $5{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}$ có hai nghiệm x = 0 hoặc x = -2

Tích các nghiệm là $0.\left(-2\right)=0$

Ta có:

$$\begin{gathered} 6{\mathrm{x}}^3-18{\mathrm{x}}^2=0\Rightarrow 6{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-3\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}6{\mathrm{x}}^2=0\\ \mathrm{x}-3=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 3

Tích các nghiệm của đa thức $6{\mathrm{x}}^3-18{\mathrm{x}}^2$ là 0.3 = 0

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow 2{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2-8=0 \\ \Rightarrow {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2=4 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-3=2\\ \mathrm{x}-3=-2\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5\\ \mathrm{x}=1\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm x = 5; x = 1

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow 3{\left(2\mathrm{x}+5\right)}^2-48=0 \\ {\left(2\mathrm{x}+5\right)}^2=16 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+5=4\\ 2\mathrm{x}+5=-4\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=-1\\ 2\mathrm{x}=-9\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{1}{2}\\ \mathrm{x}=-\frac{9}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm là $\mathrm{x}=-\frac{1}{2}; \mathrm{x}=-\frac{9}{2}$

Giá trị x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu: $\mathrm{P}\left(\mathrm{a}\right)=0$

Q(x) nhận 1 là nghiệm thì Q(1) = 0

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{a}.1^2-2.1-3=0 \\ \Rightarrow \mathrm{a}-5=0\Rightarrow \mathrm{a}=5 \end{gathered}$$

Vậy để Q(x) nhận 1 là nghiệm thì a = 5

+ Xét x < 0 khi đó x - 1 < 0

nên x(x-1) > 0 do đó ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1$ > 0

Hay f(x) > 0

+  Xét $0\le \mathrm{x}<1$ khi đó ${\mathrm{x}}^2$ > 0 và 1 - x > 0 do đó

${\mathrm{x}}^2+\left(1-\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1>0$ nên f(x) > 0

+ Xét $\mathrm{x}\ge 1$ thì x > 0 và $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)\ge 0$

suy ra ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1$>0 hay f(x) > 0

Vậy f(x) > 0 với mọi x nên f(x) vô nghiệm

Đa thức bậc n có không quá n nghiệm.

+ Với $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thay x = 1 vào f(x) ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}.1^2+\mathrm{b}.1+\mathrm{c}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(1\right)=0 \end{gathered}$$

Nên x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thay x = -1 vào f(x) ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{a}.{\left(-1\right)}^2+\mathrm{b}.\left(-1\right)+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right)=0 \end{gathered}$$

Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Vậy cả A, B đều đúng

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}+14\right).\left(\mathrm{x}-4\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+14=0\\ \mathrm{x}-4=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-14\\ \mathrm{x}=4\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; -14}

Số nghiệm tối đa có thể có của đa thức  là 2 nghiệm.

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(2\mathrm{x}-16\right)\left(\mathrm{x}+6\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-16=0\\ \mathrm{x}+6=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\\ \mathrm{x}=-6\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là $\left\{8; -6\right\}$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-6 \\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+6\mathrm{x}-6 \\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right)+6\left(\mathrm{x}-1\right) \\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+6\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+6\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=0\\ \mathrm{x}+6=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-6\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và -6

+ Với $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$ thay x = 1 vào 

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}.1^3+\mathrm{b}.1^2+\mathrm{c}.1+\mathrm{d} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(1\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{d}=0$ thay x = -1 vào

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{a}.{\left(-1\right)}^3+\mathrm{b}.{\left(-1\right)}^2+\mathrm{c}.\left(-1\right)+\mathrm{d} \\ \mathrm{f}\left(-1\right)=-\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}+\mathrm{d} \\ \mathrm{f}\left(-1\right)=-\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{d}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right)=0 \end{gathered}$$

Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Vậy cả A, B đều đúng

P(x) nhận -1 là nghiệm nên P(-1) = 0

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left(-1\right)}^2-6.\left(-1\right)+\mathrm{a}=0 \\ \Rightarrow 1+6+\mathrm{a}=0 \\ \Rightarrow 7+\mathrm{a}=0\Rightarrow \mathrm{a}=-7 \end{gathered}$$

Vậy P(x) nhận -1 là nghiệm thì a = -7

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3 \\ ={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-\mathrm{x}+1+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)-\left(\mathrm{x}-1\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}-1\right)-\left(\mathrm{x}-1\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-1\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+2 \end{gathered}$$

Với mọi x ta có: ${\mathrm{x}}^2\ge 0; {\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\ge 0$

Mặt khác 2 > 0 nên ${\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+2>0$ với mọi x hay f(x) > 0 với mọi x

Do đó f(x) không có nghiệm

Vì $\left(\mathrm{x}-1\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+4\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+8\right)$ với mọi x nên suy ra:

+ Khi x - 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:

$$\begin{gathered} \left(1-1\right)\mathrm{f}\left(1\right)=\left(1+4\right)\mathrm{f}\left(1+8\right) \\ \Rightarrow 0\mathrm{f}\left(1\right)=5.\mathrm{f}\left(9\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(9\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = 9 là một nghiệm của f(x)

+ Khi x + 4 = 0 hay x = -4 ta có:

$$\begin{gathered} \left(-4-1\right)\mathrm{f}\left(-4\right)=\left(-4+4\right)\mathrm{f}\left(-4+8\right) \\ \Rightarrow -5.\mathrm{f}\left(-4\right)=0.\mathrm{f}\left(4\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-4\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = -4 là một nghiệm của f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và -4

Ta có: $\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\left(\mathrm{x}+3\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ với mọi x

+ Khi x = 0 ta có:

$$\begin{gathered} 0.\mathrm{f}\left(0+1\right)=\left(0+3\right).\mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow 0.\mathrm{f}\left(1\right)=3.\mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(0\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = 0 là một nghiệm của f(x)

+ Khi x + 3 = 0 hay x = -3 ta có:

$$\begin{gathered} (-3).\mathrm{f}\left(-3+1\right)=\left(-3+3\right).\mathrm{f}\left(-3\right) \\ \Rightarrow (-3).\mathrm{f}\left(-2\right)=0.\mathrm{f}\left(-3\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-2\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = -2 là một nghiệm của f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0 và -2

- Xét $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2=0\iff \mathrm{x}=0$

Do đó đa thức f(x) có 1 nghiệm

- Xét $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2+{\mathrm{x}}^2=0\iff {\mathrm{x}}^2=-2$ (vô lý)

Do đó đa thức g(x) vô nghiệm

- Xét $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+2=0\iff \mathrm{x}=-2$

Do đó đa thức P(x) có 1 nghiệm

- Xét $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3=0\iff \mathrm{x}=0$

Do đó đa thức Q(x) có 1 nghiệm.

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow {\left(3\mathrm{x}+4\right)}^4-81=0 \\ \Rightarrow {\left(3\mathrm{x}+4\right)}^4=81 \\ \Rightarrow {\left(3\mathrm{x}+4\right)}^2=9 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+4=3\\ 3\mathrm{x}+4=-3\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}=-1\\ 3\mathrm{x}=-7\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{1}{3}\\ \mathrm{x}=-\frac{7}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy g(x) có hai nghiệm là:

$\mathrm{x}=-\frac{1}{3}; \mathrm{x}=-\frac{7}{3}$

Nếu f(a) = 0 thì x = a là nghiệm của đa thức f(x)

Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\ne 0$ thì x = b không là nghiệm của đa thức f(x).