Thay x = 0 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ ta được

$\mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{a}.0+\mathrm{b}=\mathrm{b}$ mà f(0) = 4 suy ra b = 4

Khi đó thay x = 3 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+4$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(3\right)=\mathrm{a}.3+4=3\mathrm{a}+4=12 \\ \Rightarrow 3\mathrm{a}+4=12 \\ \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{8}{3} \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{8}{3}\mathrm{x}+4$

Thay x = 1 vào f(x) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=1+1^2+1^4+...+1^{2020} \\ =1+1+1+...+1 \\ =1+1010.1=1011 \end{gathered}$$

Thay x = -1 vào f(x) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=1+{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^4+...+{\left(-1\right)}^{2020} \\ =1+1+1+1+...+1 \\ =1+1010.1 \\ =1011 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{f}\left(1\right)=1011; \mathrm{g}\left(-1\right)=1011$

Ta có:

$$\begin{gathered} 6{\mathrm{x}}^3+5{\mathrm{x}}^4-8{\mathrm{x}}^6-3{\mathrm{x}}^2+4 \\ =-8{\mathrm{x}}^6+5{\mathrm{x}}^4+6{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+4 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} 1-7{\mathrm{x}}^7+5{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^5+9{\mathrm{x}}^6 \\ =-7{\mathrm{x}}^7+8{\mathrm{x}}^6-3{\mathrm{x}}^5+5{\mathrm{x}}^4+1 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} 7{\mathrm{x}}^{12}-8{\mathrm{x}}^{10}+{\mathrm{x}}^{11}-{\mathrm{x}}^5+6{\mathrm{x}}^6+\mathrm{x}-10 \\ =-10+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^5+6{\mathrm{x}}^6+{\mathrm{x}}^{11}+7{\mathrm{x}}^{12} \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} -{\mathrm{y}}^4+{\mathrm{y}}^7-3{\mathrm{y}}^2+8{\mathrm{y}}^5-\mathrm{y} \\ =-\mathrm{y}-3{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{y}}^4+8{\mathrm{y}}^5+{\mathrm{y}}^7 \end{gathered}$$

Ta có số mũ cao nhất của biến trong đa thức

$8{\mathrm{x}}^8-{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^9+{\mathrm{x}}^5-12{\mathrm{x}}^3+10$ là 9 nên bậc của đa thức bằng 9

Ta có:

$$\begin{gathered} \text{f}\left(1\right)=3.1^3+2a.1^2+a.1-5=3a-2 \\ g\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2+3a.\left(-1\right)-4=-3a-3 \end{gathered}$$

Để $\mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{g}\left(-1\right)$ thì $3\mathrm{a}-2=-3\mathrm{a}-3$

$\Rightarrow 6\mathrm{a}=-1\Rightarrow \mathrm{a}=-\frac{1}{6}$

Vậy a = $-\frac{1}{6}$

Ta có số mũ cao nhất của biến trong đa thức

$9{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^7-{\mathrm{x}}^5+1$ là 7 nên bậc của đa thức là 7

Hệ số tự do của đa thức ${\mathrm{x}}^3-7\left(\mathrm{a}+1\right){\mathrm{x}}^2-{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{ab}+3$ là $-{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-\mathrm{ab}-3$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(0\right)=0^5+2=2 \\ \mathrm{g}\left(1\right)=5.1^3-4.1+2=3 \end{gathered}$$

Suy ra $\mathrm{f}\left(0\right)<\mathrm{g}\left(1\right)$ (do 2 < 3)

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-2\right)={\left(-2\right)}^5+2=-30 \\ \mathrm{g}\left(-2\right)=5.{\left(-2\right)}^3-4.\left(-2\right)+2=-30 \end{gathered}$$

Suy ra $\mathrm{f}\left(-2\right)=\mathrm{g}\left(-2\right)$ (do -30 = -30 )

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(2\right)=3.2^4-1=48-1=47 \\ \mathrm{g}\left(2\right)=5.2^4-3.2^3+2.2 \\ \mathrm{g}\left(2\right)=80-24+4=60 \end{gathered}$$

Suy ra $\mathrm{f}\left(2\right)<\mathrm{g}\left(2\right)$ (do 47 < 60)

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(0\right)=3.0^4-1=-1 \\ \mathrm{g}\left(0\right)=5.0^4-3.0^3+2.0=0 \end{gathered}$$

Suy ra $\mathrm{f}\left(0\right)<\mathrm{g}\left(0\right)$ (do -1 < 0)

Thay x = -2 vào biểu thức A ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{A}={\left(-2\right)}^4-4.{\left(-2\right)}^3+\left(-2\right)-3.{\left(-2\right)}^2+1 \\ =16+32-2-12+1=35 \end{gathered}$$

Vậy với x = -2 thì A = 35

Hệ số tự do của đa thức ${\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}-5\mathrm{a}+3\mathrm{b}+2$ là $-5\mathrm{a}+3\mathrm{a}+2$

Thay x = 0 vào f(x) ta được

$\mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{a}.0+\mathrm{b}=7\Rightarrow \mathrm{b}=7$

Suy ra $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+7$

Thay x = 2 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+7$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(2\right)=\mathrm{a}.2+7=13\Rightarrow 2\mathrm{a}=6 \\ \Rightarrow \mathrm{a}=3 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{x}+7$

Thay x = 1 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ ta được

$\mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{7}{2}\Rightarrow \mathrm{b}=\frac{7}{2}-\mathrm{a}$ (1)

Thay x = -1 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=-\mathrm{a}+\mathrm{b}=\frac{-5}{2} \\ \Rightarrow \mathrm{b}=\mathrm{a}-\frac{5}{2} \end{gathered}$$(2)

Từ (1), (2) ta có:

$$\begin{gathered} \frac{7}{2}-\mathrm{a}=\mathrm{a}-\frac{5}{2} \\ \Rightarrow 2\mathrm{a}=6\Rightarrow \mathrm{a}=3 \end{gathered}$$

Từ đó: $\mathrm{b}=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}$

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3\mathrm{x}+\frac{1}{2}$

Thay x = -1 vào $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=100{\mathrm{x}}^{100}+99{\mathrm{x}}^{99}+...+2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}$ ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=100.{\left(-1\right)}^{100}+99.{\left(-1\right)}^{99}+...+2.{\left(-1\right)}^2+\left(-1\right) \\ =100-99+98-97+...+2-1 \\ =\left(100-99\right)+\left(98-87\right)+...+\left(2-1\right) \\ =50.1=50 \end{gathered}$$

Vậy P(-1) = 50

Thay x = 2 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ ta được

$\mathrm{f}\left(2\right)=\mathrm{a}.2+\mathrm{b}=4\Rightarrow \mathrm{b}=4-2\mathrm{a}$ (1)

Thay x = 1 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$ ta được

$\mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}=3\Rightarrow \mathrm{b}=3-\mathrm{a}$ (2)

Từ (1) ;(2) ta có $3-\mathrm{a}=4-2\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{a}=1$

Từ đó $\mathrm{b}=3-\mathrm{a}=3-1=2$

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+2$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=4.1^4-2\mathrm{a}.1^2+\left(\mathrm{a}+1\right).1+2 \\ =4-2\mathrm{a}+\mathrm{a}+1+2=7-\mathrm{a} \\ \mathrm{g}\left(2\right)=2\mathrm{a}.2+5=4\mathrm{a}+5 \end{gathered}$$

Đề $\mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{g}\left(2\right)$ thì

 $7-\mathrm{a}=4\mathrm{a}+5\Rightarrow 5\mathrm{a}=2\Rightarrow \mathrm{a}=\frac{2}{5}$

Vậy $\mathrm{a}=\frac{2}{5}$

Thay x = -1 vào đa thức A ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{A}=-3.{\left(-1\right)}^2+5.{\left(-1\right)}^6-7.\left(-1\right) \\ \mathrm{A}=-3+5+7=9 \end{gathered}$$

Vậy với x = -1 thì A = 9

Ta có:

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{a}+1\right){\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x} \\ =\left[\left(\mathrm{a}+1\right){\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^4\right]-4{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x} \\ =\left(\mathrm{a}+2\right){\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x} \end{gathered}$$

Để đa thức đã cho có bậc là 3 thì $\mathrm{a}+2=0\Rightarrow \mathrm{a}=-2$

Vậy a = -2

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+4\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2-1\right)+8 \\ ={\mathrm{ax}}^3+4\mathrm{x}.{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+8 \\ ={\mathrm{ax}}^3+4{\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}+8 \\ =\left(\mathrm{a}+4\right){\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}+8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}\left(\mathrm{bx}+1\right)+\mathrm{x}-5 \\ ={\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}.\mathrm{bx}+4\mathrm{x}+\mathrm{x}-5 \\ ={\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{bx}}^2+4\mathrm{x}+\mathrm{x}-5 \end{gathered}$$

Thay x = 0 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ ta được $\mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{g}\left(0\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(\mathrm{a}+4\right).0^3-4.0+8 \\ =0^3-4\mathrm{b}.0^2+4.0+\mathrm{c}-5 \\ \Rightarrow 8=\mathrm{c}-5\Rightarrow \mathrm{c}=13 \end{gathered}$$

Khi đó x = 1 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{g}\left(1\right) \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a}+4\right).1^3-4.1+8 \\ =1^3-4\mathrm{b}.1^2+4.1+\mathrm{c}-5 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+4-4+8=1-4\mathrm{b}-4+8 \\ \Rightarrow -\mathrm{a}+8=5-4\mathrm{b} \\ \Rightarrow \mathrm{a}=-3-4\mathrm{b} \left(1\right) \end{gathered}$$

Khi đó x = -1 vào $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{g}\left(-1\right) \\ \Rightarrow \left(\mathrm{a}+4\right).{\left(-1\right)}^3-4.\left(-1\right)+8 \\ ={\left(-1\right)}^3-4\mathrm{b}{\left(-1\right)}^2+4.1+\mathrm{c}-5 \\ \Rightarrow -\mathrm{a}-4+4+8=-1-4\mathrm{b}+4+8 \\ \Rightarrow -\mathrm{a}+8=11-4\mathrm{b}\Rightarrow \mathrm{a}=4\mathrm{b}-3 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) ;(2) suy ra 

$$\begin{gathered} -3-4\mathrm{b}=4\mathrm{b}-3 \\ \Rightarrow 8\mathrm{b}=0\Rightarrow \mathrm{b}=0 \end{gathered}$$

Thay b = 0 vào (1) ta được a = -3

Vậy a = -3; b = 0; c = 13

Ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\left(2\mathrm{a}-3\right){\mathrm{x}}^5-3\mathrm{b}-1 \\ =\left(2\mathrm{a}-3\right){\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-1 \end{gathered}$$

Hệ số cao nhất của đa thức đã cho là 2a - 3 nên

$2\mathrm{a}-3=3\Rightarrow 2\mathrm{a}=6\Rightarrow \mathrm{a}=3$

Hệ số tự do của đa thức đã cho là -3b - 1 nên

$-3\mathrm{b}-1=8\Rightarrow -3\mathrm{b}=9\Rightarrow \mathrm{b}=-3$

Vậy  a = 3; b = -3

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^{99}-101{\mathrm{x}}^{98}+101{\mathrm{x}}^{97}-101{\mathrm{x}}^{96}+...+101\mathrm{x}-1 \\ ={\mathrm{x}}^{99}-\left(100+1\right){\mathrm{x}}^{98}+\left(100+1\right){\mathrm{x}}^{97}+...+\left(100+1\right)\mathrm{x}-1 \\ ={\mathrm{x}}^{99}-100{\mathrm{x}}^{98}-{\mathrm{x}}^{98}+...+100\mathrm{x}+\mathrm{x}-1 \\ =\left({\mathrm{x}}^{99}-100{\mathrm{x}}^{98}\right)-\left({\mathrm{x}}^{98}-100{\mathrm{x}}^{97}\right)+...-\left({\mathrm{x}}^2-100\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}-1 \end{gathered}$$

Thay x = 100 vào f(x) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(100\right)=\left({100}^{99}-100.{100}^{98}\right)-\left({100}^{98}-100.{100}^{97}\right)+...+100-1 \\ =\left({100}^{99}-{100}^{99}\right)-\left({100}^{98}-{100}^{98}\right)+...+99 \\ =99 \end{gathered}$$

Vậy f(100) = 99

Thay x = 1 vào f(x) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=1+1^3+1^5+1^7+...+1^{101} \\ =1+1+1+1+...+1=51.1=51 \end{gathered}$$

Thay x = -1 vào f(x) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=1+{\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^5+...+{\left(-1\right)}^{101} \\ =1+\left(-1\right)+\left(-1\right)+...+\left(-1\right) \\ =1+50.\left(-1\right)=-49 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{f}\left(1\right)=51; \mathrm{f}\left(-1\right)=-49$