Ta có:

$\left|\mathrm{x}\right|=4\Rightarrow \begin{array}{rcl}\mathrm{x}& =& 4\\ \mathrm{x}& =-& 4\end{array}$

+ Trường hợp 1: x = 4.

Thay x = 4. Vào biểu thức ta có:

$$\begin{gathered} 5.4^2-2.4-18 \\ =5.16-8-18 \\ =80-8-18=54 \end{gathered}$$

Vậy B = 54 khi x = 4

+ Trường hợp 2: x = -4.

hay x = -4. Vào biểu thức ta có:

$$\begin{gathered} 5.{\left(-4\right)}^2-2.\left(-4\right)-18 \\ =80+8-18=70 \end{gathered}$$

Vậy B = 70 khi x = -4

Với  thì B = 54 hoặc B = 70

Ta có: $\left({\mathrm{x}}^2-4\right)\ge 0; \left|\mathrm{y}-5\right|\ge 0, \forall \mathrm{x}, \mathrm{y}\in \mathrm{R}$ nên

$\mathrm{P}={\left({\mathrm{x}}^2-4\right)}^2+\left|\mathrm{y}-5\right|-1\ge -1$

Dấu "=" xảy ra khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=4\\ \mathrm{y}=5\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=4\\ \mathrm{y}=5\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2\\ \mathrm{y}=5\end{array}\mathrm{hoặc}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=5\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Gía trị nhỏ nhất của P = -1 khi $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2\\ \mathrm{y}=5\end{array}\mathrm{hoặc}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{y}=5\end{array}\right.\right.$

Thay x = -2 vào biểu thức A ta có:

${\left(-2\right)}^2-3.\left(-2\right)+8=4+6+8=18$

Vậy A = 18 tại x = -2

Thay x = 3; y = -4 vào biểu thức B ta có:

$$\begin{gathered} 3^3+6.\left(-4\right)-35 \\ =27-34-35-3 \\ =3-35=-32 \end{gathered}$$

Vậy B = -32 tại x=3, y=-4

Thay x = -1; y = 2 vào biểu thức B ta có:

$-2^2+3.{\left(-1\right)}^3+10=-4-3+10=3$

Vậy B = 3 tại x = -1; y = 2

Ta có: ${\mathrm{x}}^3-8\ge 0; 2\mathrm{y}+9\ge 0, \forall \mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{R}$ nên

$\mathrm{P}={\left({\mathrm{x}}^3-8\right)}^2+\left|2\mathrm{y}+9\right|-20\ge -20$

Dấu "=" xảy ra khi

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3=8\\ 2y+9=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^3=8\\ y=\frac{-9}{2}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{-9}{2}\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = -20 khi $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{-9}{2}\end{array}\right.$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)-{\mathrm{y}}^2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+3 \\ \mathrm{M}=\left[2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)+{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)-{\mathrm{y}}^2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\right]+3 \\ \mathrm{M}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)\left(2+{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)+3 \\ \mathrm{M}=\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right).0+3=3 \end{gathered}$$

Vậy P = 3 khi ${\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+2=0$

Từ x - 2 = 1 suy ra x = 1 + 2 = 3

Thay x = 3 vào biểu thức A ta có:

$\mathrm{A}=3^4+2.3^2-4=81+18-4=95$

Vậy A = 95 khi x thỏa mãn $\mathrm{x}-2=1$

+Thay x = -1; y = 3 vào biểu thức A ta được

$\mathrm{A}=4.{\left(-1\right)}^2.3-5=7$

+ Thay x = -1; y = 3 vào biểu thức B ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{B}=3.{\left(-1\right)}^3.3+6{\left(-1\right)}^2.3^2+3\left(-1\right).3^2 \\ \mathrm{B}=-9+54-27=18 \end{gathered}$$

Suy ra A < B khi x = -1; y = 3.

 $\Rightarrow 2^3+2.2^2-3.2=10$

Thay x = -3; y = -2; z = 3 vào biểu thức D ta có:

$$\begin{gathered} 2.{\left(-3\right)}^3-3.{\left(-2\right)}^2+8.3+5 \\ =2.\left(-27\right)-3.4+24+5 \\ =-54-12+24+5 \\ =-66+24+5 \\ =-42+5=-37 \end{gathered}$$

Vậy  D = -37 tại x = -3; y = -2; z = 3

Thay x = 4; y = -5; z = -2 vào biểu thức E ta có:

$$\begin{gathered} 4^4+4.4^2.\left(-5\right)-6.\left(-2\right) \\ =256+4.16.\left(-5\right)-\left(-12\right) \\ =256+\left(-320\right)+12 \\ =-64+12=-52 \end{gathered}$$

Vậy E = -52 tại x = 4; y = -5; z = -2

Thay x = -2 vào biểu thức $\frac{{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}}{2}$ ta được :

$\frac{{\left(-2\right)}^2+3.\left(-2\right)}{2}=\frac{4+\left(-6\right)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

+ Thay x = 2; y = -4 vào biểu thức A ta được:

$\mathrm{A}=\frac{2.\left(-4\right)-7}{2}=\frac{-8-7}{2}=\frac{-15}{2}$

+ Thay x = 2; y = -4 vào biểu thức B ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{B}=2.2^3-2^3.{\left(-4\right)}^3-2^2.\left(-4\right) \\ \mathrm{B}=16-\left(-512\right)-\left(-16\right) \\ \mathrm{B}=16+512+16=544 \end{gathered}$$

Suy ra A < B khi x = 2; y = -4

Ta có: $\left|x\right|=2 \Rightarrow \begin{array}{rcl}x& =& 2\\ x& =-& 2\end{array}$

+ Trường hợp 1: x = 2

Thay x = 2 vào biểu thức M ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=4.2^3+2-2020 \\ =32+2-2020=-1986 \end{gathered}$$

Vậy M = -1986 tại x = 2

+ Trường hợp 2: x = -2

Thay x = -2 vào biểu thức M ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=4.{\left(-2\right)}^3+\left(-2\right)-2020 \\ \mathrm{M}=-32+\left(-2\right)-2020=-2054 \end{gathered}$$

Vậy M = -2054 tại x = -2

Với  thì M = -1986 hoặc M = -2054

Để biểu thức đại số $25-{\mathrm{x}}^2=0$ có giá trị bằng 0 thì

$25-{\mathrm{x}}^2=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=25\Rightarrow \begin{array}{rcl}\mathrm{x}& =& 5\\ \mathrm{x}& =-& 5\end{array}$

Để biểu thức đại số $18-2{\mathrm{y}}^2$ có giá trị bằng 0 thì

$$\begin{gathered} 18-2{\mathrm{y}}^2=0 \\ \iff 2{\mathrm{y}}^2=18 \\ \iff {\mathrm{y}}^2=18:2 \\ \iff {\mathrm{y}}^2=9 \\ \iff \begin{array}{rcl}\mathrm{y}& =& 3\\ \mathrm{y}& =-& 3\end{array} \end{gathered}$$

Vậy y = 3 hoặc y = -3

Với A = 0 thì $\left(\mathrm{x}+1\right)\left({\mathrm{x}}^2+2\right)=0$

$\Rightarrow \begin{array}{rcl}\mathrm{x}+1& =& 0\\ {\mathrm{x}}^2+2& =& 0\end{array}\Rightarrow \mathrm{x}+1=0$

( do ${\mathrm{x}}^2+2>0, \forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}$)

Vậy giá trị của A là 0 tại x = -1

Có một giá trị của x để A = 0

Vì $$\begin{gathered} {\left({\mathrm{y}}^2-25\right)}^4\ge 0, \forall \mathrm{x} \\ \Rightarrow \mathrm{M}\le 10-0=10,\forall \mathrm{x} \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra khi 

${\mathrm{y}}^2-25=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=5\\ \mathrm{y}=-5\end{array}\right.$

Vậy giá trị lớn nhất M = 10 tại y = 5 hoặc y = -5

Với B = 0 thì $\left({\mathrm{x}}^2-4\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)=0$

$\Rightarrow \begin{array}{rcl}{\mathrm{x}}^2-4& =& 0\\ 2\mathrm{x}+1& =& 0\end{array}$

+ Với ${\mathrm{x}}^2-4=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=4\Rightarrow \begin{array}{rcl}\mathrm{x}& =& 2\\ \mathrm{x}& =-& 2\end{array}$

+ Với $2\mathrm{x}+1=0\Rightarrow 2\mathrm{x}=-1\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{-1}{2}$

Vậy giá trị của B bằng x tại $\mathrm{x}=2; \mathrm{x}=-2; \mathrm{x}=\frac{-1}{2}$

Do đó có ba giá trị của x để B = 0

$$\begin{gathered} {\left(2{\mathrm{x}}^2-126\right)}^6\ge 0, \forall \mathrm{x} \\ \Rightarrow \mathrm{M}\le 110-0=110 \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra khi ${\left(2{\mathrm{x}}^2-162\right)}^6=0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2-162-0\Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2=162 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2=81\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=9\\ \mathrm{x}=-9\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy giá trị lớn nhất của M = 110 tại x = -9 hoặc x = 9

Ta có: $\mathrm{C}=0\Rightarrow {\left(\mathrm{x}+1\right)}^2+3\left|\mathrm{y}-2\right|=0$ mà

${\left(\mathrm{x}+1\right)}^2\ge 0; 3\left|\mathrm{y}-2\right|\ge 0$ nên ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^2+3\left|\mathrm{y}-1\right|\ge 0$

Từ đó dấu "=" xảy ra khi x + 1 = 0 và y - 2 = 0

Hay x = -1; y = 2

Vậy C = 0 khi x = -1; y = 2

Ta có: $\mathrm{D}=0\Rightarrow {\left(2\mathrm{y}-4\right)}^2+5\left|\mathrm{x}-5\right|=0$ mà

${\left(2y-4\right)}^2\ge 0; 5\left|x-5\right|\ge 0$ nên ${\left(2\mathrm{y}-4\right)}^2+5\left|\mathrm{x}-5\right|\ge 0$

Từ đó dấu "=" xảy ra khi 2y - 4 = 0 và x - 5 = 0

Hay x = 5; y = 2

Vậy D = 0 khi x = 5;y = 2

Ta có: ${\left(\mathrm{x}-3\right)}^2\ge 0; {\left(\mathrm{y}-2\right)}^2\ge 0, \forall \mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{R}$

$\mathrm{A}={\left(\mathrm{x}-3\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2+5\ge 5$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-3=0\\ \mathrm{y}-2=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=2\end{array}\right.\right.$

Gía trị nhỏ  nhất của A là 5 khi x = 3; y = 2

Ta có: ${\left(3\mathrm{x}+6\right)}^2\ge 0; {\left(\mathrm{y}+3\right)}^2\ge 0, \forall \mathrm{x}, \mathrm{y}\in \mathrm{R}$ nên

$\mathrm{A}={\left(3\mathrm{x}+6\right)}^2+2{\left(\mathrm{y}+3\right)}^2+2020\ge 2020$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+6=0\\ \mathrm{y}+3=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2\\ \mathrm{y}=-3\end{array}\right.\right.$

Gía trị nhỏ nhất của A là 2020 khi x = -2; y = -3

Ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-{\mathrm{y}}^2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2+2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+3 \\ =\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)+\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)+2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+3 \\ =\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+1\right)+2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+1\right)+1 \\ =\left({\mathrm{x}}^2-{\mathrm{y}}^2\right).0+2.0+1=1 \end{gathered}$$

(vì x + y + 1 = 0)

Vậy D = 1 khi x + y + 1 = 0

Vì $\left|3\mathrm{x}-5\right|\ge 0, \forall \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{B}\le 8-0=8$

Dấu "=" xảy ra $\iff 3\mathrm{x}-5=0\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{5}{3}$

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 8 tại $\mathrm{x}=\frac{5}{3}$

Ta có: Từ x + y + z =0 thay vào N ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{N}=\left(3\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)\left(2\mathrm{y}+2\mathrm{z}\right)\left(4\mathrm{x}+4\mathrm{z}\right) \\ =\left[3\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right].\left[2\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\right].\left[4\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right)\right] \\ =3.2.4.\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right) \\ =24.\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right) \end{gathered}$$

Từ x + y + z = 0 $\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{z}; \mathrm{y}+\mathrm{z}=-\mathrm{x}; \mathrm{x}+\mathrm{z}=-\mathrm{y}$ thay vào N ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{N}=24.\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right).\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right).\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right) \\ \mathrm{N}=24.\left(-\mathrm{z}\right).\left(-\mathrm{x}\right).\left(-\mathrm{y}\right)=-24\mathrm{xyz} \end{gathered}$$

Vậy xyz = 8 nên N = -24.8 = -192

Vì $\left|3-\mathrm{x}\right|\ge 0, \forall \mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{B}\le 11-0=11, \forall \mathrm{x}$

Dấu "=" xảy ra $3-\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{x}=3$

Vậy B đạt giá trị lớn nhất là 11 tại x = 3

Từ $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{z}; \mathrm{y}+\mathrm{z}=-\mathrm{x}; \mathrm{x}+\mathrm{z}=-\mathrm{y}$

thay vào M ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right) \\ =\left(-\mathrm{z}\right).\left(-\mathrm{x}\right).\left(-\mathrm{y}\right)=-\mathrm{xyz} \end{gathered}$$

Mà xyz = 4 và x + y + z = 0 thì M = -4