Ta có:

$$\begin{gathered} 2{\mathrm{x}}^2-18=0\Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2=18 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2=9 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=3 \mathrm{hoặc} \mathrm{x}=-3 \end{gathered}$$

Vậy x = 3; x = -3 là nghiệm của đa thức

Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức $2{\mathrm{x}}^2-18$ là $3-\left(-3\right)=6$

$\mathrm{P}\left(0\right)=3.0^2-10.0+7=7\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=0$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(-1\right)=3.{\left(-1\right)}^2-10.\left(-1\right)+7=20\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(1\right)=3.{\left(1\right)}^2-10.1+7=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ là nghiệm của P(x)

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(-\frac{7}{3}\right)=3.{\left(-\frac{7}{3}\right)}^2-10.\left(-\frac{7}{3}\right)+7 \\ \Rightarrow \mathrm{P}\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{140}{3}\ne 0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{7}{3}$ không là nghiệm của P(x)

Vậy $\mathrm{x}=1$ là nghiệm của P(x)

Ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^3+27=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^3=-27 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^3={\left(-3\right)}^3\Rightarrow \mathrm{x}=-3 \end{gathered}$$

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là x = -3

$\mathrm{P}\left(0\right)=0^2+1.0-2=-1\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=0$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(-1\right)={\left(-1\right)}^2+1.\left(-1\right)-2=-2\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(1\right)=1^2+1.1-2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(2\right)=2^2+1.2-2=4\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=2$ không là nghiệm của P(x)

$\mathrm{P}\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2+1.\left(-2\right)-2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-2$ là nghiệm của P(x)

Vậy $\mathrm{x}=1; \mathrm{x}=-2$ là nghiệm của P(x)

$\mathrm{f}\left(-9\right)=2.9^2+12.\left(-9\right)+10=64\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-9$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(1\right)=2.1^2+12.1+10=24\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-1\right)=2.1^2+12.\left(-1\right)+10=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-4\right)=2.{\left(-4\right)}^2+12.\left(-4\right)+10=-6\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-4$ không là nghiệm của f(x)

Ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^3-64=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^3=64 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^3=4^3\Rightarrow \mathrm{x}=4 \end{gathered}$$

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là x = 4

$\mathrm{f}\left(2\right)=2.2^2+5.2+2=20\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=2$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(1\right)=2.1^2+5.1+2=9\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=1$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-1\right)=2.{\left(-1\right)}^2+5.\left(-1\right)+2=-1\ne 0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-1$ không là nghiệm của f(x)

$\mathrm{f}\left(-2\right)=2.{\left(-2\right)}^2+5.\left(-2\right)+2=0$

$\Rightarrow \mathrm{x}=-2$ là nghiệm của f(x)

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}+9 \\ ={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-9\mathrm{x}+9 \\ =\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)-\left(9\mathrm{x}-9\right) \\ =\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-9\left(\mathrm{x}-1\right) \\ =\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-9\right) \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-9\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=0\\ \mathrm{x}-9=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=9\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và 9

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2-16=0\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=16 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=4\\ \mathrm{x}=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 4; x = -4 là nghiệm của đa thức ${\mathrm{x}}^2-16$

Tổng các nghiệm là $4+\left(-4\right)=0$

Ta có:

$$\begin{gathered} 5{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}=0\Rightarrow 5\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-2\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}-2=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức $5{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}$ có hai nghiệm x = 0 hoặc x = -2

Tích các nghiệm là $0.\left(-2\right)=0$

Ta có:

$$\begin{gathered} 6{\mathrm{x}}^3-18{\mathrm{x}}^2=0\Rightarrow 6{\mathrm{x}}^2\left(\mathrm{x}-3\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}6{\mathrm{x}}^2=0\\ \mathrm{x}-3=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 3

Tích các nghiệm của đa thức $6{\mathrm{x}}^3-18{\mathrm{x}}^2$ là 0.3 = 0

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow 2{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2-8=0 \\ \Rightarrow {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2=4 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-3=2\\ \mathrm{x}-3=-2\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5\\ \mathrm{x}=1\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm x = 5; x = 1

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow 3{\left(2\mathrm{x}+5\right)}^2-48=0 \\ {\left(2\mathrm{x}+5\right)}^2=16 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}+5=4\\ 2\mathrm{x}+5=-4\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=-1\\ 2\mathrm{x}=-9\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{1}{2}\\ \mathrm{x}=-\frac{9}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm là $\mathrm{x}=-\frac{1}{2}; \mathrm{x}=-\frac{9}{2}$

Giá trị x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu: $\mathrm{P}\left(\mathrm{a}\right)=0$

Q(x) nhận 1 là nghiệm thì Q(1) = 0

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{a}.1^2-2.1-3=0 \\ \Rightarrow \mathrm{a}-5=0\Rightarrow \mathrm{a}=5 \end{gathered}$$

Vậy để Q(x) nhận 1 là nghiệm thì a = 5

+ Xét x < 0 khi đó x - 1 < 0

nên x(x-1) > 0 do đó ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1$ > 0

Hay f(x) > 0

+  Xét $0\le \mathrm{x}<1$ khi đó ${\mathrm{x}}^2$ > 0 và 1 - x > 0 do đó

${\mathrm{x}}^2+\left(1-\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1>0$ nên f(x) > 0

+ Xét $\mathrm{x}\ge 1$ thì x > 0 và $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)\ge 0$

suy ra ${\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1$>0 hay f(x) > 0

Vậy f(x) > 0 với mọi x nên f(x) vô nghiệm

Đa thức bậc n có không quá n nghiệm.

+ Với $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thay x = 1 vào f(x) ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}.1^2+\mathrm{b}.1+\mathrm{c}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(1\right)=0 \end{gathered}$$

Nên x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ thay x = -1 vào f(x) ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{a}.{\left(-1\right)}^2+\mathrm{b}.\left(-1\right)+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right)=0 \end{gathered}$$

Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Vậy cả A, B đều đúng

*Phương pháp giải:

 Thay x=1 vào đa thức

*Lý thuyết:

1. Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: mỗi đơn thức được gọi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

Số 0 được gọi là đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

Ví dụ: $x^2-4x+3;x^2+3xy{z}^2-yz+1;\left(x+3y\right)+\left(2x--y\right)$ là đa thức.

$\frac{x+y}{x-y},\frac{x^2+2}{x^2-y^2}$ không phải là đa thức.

$x^2-4x+3$ có 3 hạng tử $x^2;-4x;3$.

$x^2+3xy{z}^2-yz+1$ có 4 hạng tử $x^2;3xy{z}^2;-yz;1$.

2. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=x^3-2x^{2}y-x^{2}y+3x{y}^2-y^3\\ =x^3-3x^{2}y-3x{y}^2-y^3\end{array}$

3. Bậc của đa thức

Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

Một số khác 0 tùy ý được coi là một đa thức bậc 0.

Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc xác định.

Xem thêm 

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}+14\right).\left(\mathrm{x}-4\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+14=0\\ \mathrm{x}-4=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-14\\ \mathrm{x}=4\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; -14}

Số nghiệm tối đa có thể có của đa thức  là 2 nghiệm.

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(2\mathrm{x}-16\right)\left(\mathrm{x}+6\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-16=0\\ \mathrm{x}+6=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\\ \mathrm{x}=-6\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là $\left\{8; -6\right\}$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-6 \\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+6\mathrm{x}-6 \\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right)+6\left(\mathrm{x}-1\right) \\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+6\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+6\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=0\\ \mathrm{x}+6=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-6\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và -6

+ Với $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$ thay x = 1 vào 

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}.1^3+\mathrm{b}.1^2+\mathrm{c}.1+\mathrm{d} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(1\right)=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d} \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(1\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)

+ Với $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{d}=0$ thay x = -1 vào

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(-1\right)=\mathrm{a}.{\left(-1\right)}^3+\mathrm{b}.{\left(-1\right)}^2+\mathrm{c}.\left(-1\right)+\mathrm{d} \\ \mathrm{f}\left(-1\right)=-\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}+\mathrm{d} \\ \mathrm{f}\left(-1\right)=-\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{d}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-1\right)=0 \end{gathered}$$

Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Vậy cả A, B đều đúng

P(x) nhận -1 là nghiệm nên P(-1) = 0

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\left(-1\right)}^2-6.\left(-1\right)+\mathrm{a}=0 \\ \Rightarrow 1+6+\mathrm{a}=0 \\ \Rightarrow 7+\mathrm{a}=0\Rightarrow \mathrm{a}=-7 \end{gathered}$$

Vậy P(x) nhận -1 là nghiệm thì a = -7

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+3 \\ ={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-\mathrm{x}+1+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)-\left(\mathrm{x}-1\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}.\left(\mathrm{x}-1\right)-\left(\mathrm{x}-1\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-1\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+2 \end{gathered}$$

Với mọi x ta có: ${\mathrm{x}}^2\ge 0; {\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\ge 0$

Mặt khác 2 > 0 nên ${\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2+2>0$ với mọi x hay f(x) > 0 với mọi x

Do đó f(x) không có nghiệm

Vì $\left(\mathrm{x}-1\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+4\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+8\right)$ với mọi x nên suy ra:

+ Khi x - 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:

$$\begin{gathered} \left(1-1\right)\mathrm{f}\left(1\right)=\left(1+4\right)\mathrm{f}\left(1+8\right) \\ \Rightarrow 0\mathrm{f}\left(1\right)=5.\mathrm{f}\left(9\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(9\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = 9 là một nghiệm của f(x)

+ Khi x + 4 = 0 hay x = -4 ta có:

$$\begin{gathered} \left(-4-1\right)\mathrm{f}\left(-4\right)=\left(-4+4\right)\mathrm{f}\left(-4+8\right) \\ \Rightarrow -5.\mathrm{f}\left(-4\right)=0.\mathrm{f}\left(4\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-4\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = -4 là một nghiệm của f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và -4

Ta có: $\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\left(\mathrm{x}+3\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ với mọi x

+ Khi x = 0 ta có:

$$\begin{gathered} 0.\mathrm{f}\left(0+1\right)=\left(0+3\right).\mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow 0.\mathrm{f}\left(1\right)=3.\mathrm{f}\left(0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(0\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = 0 là một nghiệm của f(x)

+ Khi x + 3 = 0 hay x = -3 ta có:

$$\begin{gathered} (-3).\mathrm{f}\left(-3+1\right)=\left(-3+3\right).\mathrm{f}\left(-3\right) \\ \Rightarrow (-3).\mathrm{f}\left(-2\right)=0.\mathrm{f}\left(-3\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(-2\right)=0 \end{gathered}$$

Vậy x = -2 là một nghiệm của f(x)

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0 và -2

- Xét $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2=0\iff \mathrm{x}=0$

Do đó đa thức f(x) có 1 nghiệm

- Xét $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2+{\mathrm{x}}^2=0\iff {\mathrm{x}}^2=-2$ (vô lý)

Do đó đa thức g(x) vô nghiệm

- Xét $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+2=0\iff \mathrm{x}=-2$

Do đó đa thức P(x) có 1 nghiệm

- Xét $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3=0\iff \mathrm{x}=0$

Do đó đa thức Q(x) có 1 nghiệm.

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow {\left(3\mathrm{x}+4\right)}^4-81=0 \\ \Rightarrow {\left(3\mathrm{x}+4\right)}^4=81 \\ \Rightarrow {\left(3\mathrm{x}+4\right)}^2=9 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+4=3\\ 3\mathrm{x}+4=-3\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}=-1\\ 3\mathrm{x}=-7\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-\frac{1}{3}\\ \mathrm{x}=-\frac{7}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy g(x) có hai nghiệm là:

$\mathrm{x}=-\frac{1}{3}; \mathrm{x}=-\frac{7}{3}$

Nếu f(a) = 0 thì x = a là nghiệm của đa thức f(x)

Nếu $\mathrm{f}\left(\mathrm{b}\right)\ne 0$ thì x = b không là nghiệm của đa thức f(x).