Ta có:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(5{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-4\right) \\ \Rightarrow 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=10{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-8 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{R}\left(\mathrm{x}\right) \\ =10{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-8+\left(2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1\right)-\left(4{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3\right) \\ =\left(10{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\right)+\left(10\mathrm{x}-3\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)+\left(-8+1+3\right) \\ =8{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ =\left(-{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2-1\right)-\left(-6+2\mathrm{x}-3{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^5\right) \\ =-{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2-1+6-2\mathrm{x}+3{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^5 \\ =\left(-{\mathrm{x}}^5-3{\mathrm{x}}^5\right)+\left(2{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^4\right)+3{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+5 \\ =-4{\mathrm{x}}^5+3{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+5 \end{gathered}$$

Thay $\mathrm{x}=-1$ vào đa thức h(x) ta có:

$$\begin{gathered} -4{\left(-1\right)}^5+3.{\left(-1\right)}^4+3.{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2-2\left(-1\right)+5 \\ =-4.\left(-1\right)+3.1+3.\left(-1\right)-1-2\left(-1\right)+5=10 \end{gathered}$$

Vậy gía trị của h(x) là 10 tại x = -1

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-5\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}-5=0\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=5\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của đa thức ${\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}$ là $\left\{0; 5\right\}$

Vì số học sinh giỏi kì I bằng $\frac{2}{7}$ số học sinh còn lại nên số học sinh giỏi kì  I bằng $\frac{2}{7+2}=\frac{2}{9}$ số học sinh cả lớp

Vì số học sinh giỏi kì II bằng $\frac{1}{2}$ số học sinh còn lại nên số học sinh giỏi kì II bằng $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$ số học sinh cả lớp

5 học sinh đạt loại giỏi tăng thêm của học kì II so với học kì I bằng $\frac{1}{3}-\frac{2}{9}=\frac{1}{9}$ số học sinh cả lớp

Số học sinh của lớp 6A là $5÷\frac{1}{9}=45$ (học sinh)

Vậy lớp 6A có 45 học sinh

Vì P(x) có một nghiệm bằng 2 nên

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(2\right)=0\iff 2.2^2+\mathrm{m}.2-10=0 \\ \iff 2\mathrm{m}-2=0 \\ \iff \mathrm{m}=1 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow \left(\mathrm{x}-1\right).\left(3\mathrm{x}+2\right)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=0\\ 3\mathrm{x}+2=0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=\frac{-2}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm $\mathrm{x}=1; \mathrm{x}=\frac{-2}{3}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=0\Rightarrow 4{\mathrm{x}}^2-16=0\iff 4{\mathrm{x}}^2=16 \\ \iff {\mathrm{x}}^2=4\iff {\mathrm{x}}^2=2^2 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tổng các nghiệm của Q(x) là: $2+\left(-2\right)=0$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ =2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2+{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1-{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+3 \\ =\left(2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^3\right)+\left({\mathrm{x}}^2-3{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\right)+\left(\mathrm{x}-2\mathrm{x}+5\mathrm{x}\right)+\left(2+1+3\right) \\ =2{\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+6 \end{gathered}$$

+ Thay x =  1 vào biểu thức P ta được:

$\mathrm{P}\left(1\right)=-3.1^2+2.1+1=0$

+ Thay $\mathrm{x}=\frac{-1}{2}$ vào biểu thức Q ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}\right)=-3.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+\left(-\frac{1}{2}\right)-2 \\ \Rightarrow \mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-13}{4} \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{P}\left(1\right)=0; \mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-13}{4}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1+3{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+2 \\ =\left(-3{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\right)+\left(2\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)+3 \\ =\mathrm{x}+3 \end{gathered}$$

Ta có: $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\iff \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=0$

Mà theo câu trước ta có $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+3$

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=0\iff \mathrm{x}+3=0\iff \mathrm{x}=-3$

Vậy với x = -3 thì $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-2 \\ \iff \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+2{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-2 \\ \iff \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=-6{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-4+2{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}-2 \\ \iff \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left(-6{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^2\right)+\left(3\mathrm{x}+7\mathrm{x}\right)+\left(-2-4\right) \\ \iff \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=-4{\mathrm{x}}^2+10\mathrm{x}-6 \end{gathered}$$

Các đơn thức: $-\mathrm{x}\frac{2}{5}{\mathrm{y}}^2{\mathrm{x}}^2$; ${\left(-\mathrm{x}\right)}^{3}6\mathrm{y}$; ${\mathrm{xy}}^2\mathrm{z}$

Vậy có ba đơn thức tìm được

Đơn thức đồng dạng với đơn thức $2{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^4$ là $-\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^4$

${\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2$ có bậc là 5; $-{\mathrm{xy}}^5$ có bậc là 6; $7\mathrm{xy}$ có bậc là 2 và 9 có bậc là 0

Vậy bậc của đa thức ${\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^2-{\mathrm{xy}}^5+7\mathrm{xy}-9$ là 6

Thay $\mathrm{x}=\frac{1}{2}; \mathrm{y}=1$ vào biểu thức C ta được

$\mathrm{C}=\frac{2.{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-3.{\displaystyle \frac{1}{2}}.1+1^2}{2.{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}=0$

Nhận thức biểu thức B chứa phép tính cộng và biểu thức E chưa phép tính trừ nên B và E không là đơn thức

Các đơn thức $\mathrm{A}=\frac{1}{3}{\left(\mathrm{xy}\right)}^2.\frac{3}{5}{\mathrm{x}}^3$; $\mathrm{C}=-2{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}.\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5\mathrm{y}$; $\mathrm{D}=-\frac{2}{5}{\mathrm{xy}}^3.\left(\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2\right)$; $\mathrm{F}=\frac{1}{2}\mathrm{xy}$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{A}=\frac{1}{3}{\left(\mathrm{xy}\right)}^2.\frac{3}{5}{\mathrm{x}}^3 \\ =\frac{1}{3}.\frac{3}{5}{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2.{\mathrm{x}}^3=\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2 \end{gathered}$$

$\mathrm{F}=\frac{1}{2}\mathrm{xy}$

$\mathrm{C}=-2{\mathrm{x}}^3\mathrm{y}.\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5\mathrm{y}=\frac{-2}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2$

$$\begin{gathered} \mathrm{D}=-\frac{2}{5}{\mathrm{xy}}^3.\left(\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2\right) \\ =\left(-\frac{2}{5}\right).\left(\frac{1}{4}\right).{\mathrm{xy}}^3{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2 \\ =\frac{-1}{10}{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^5 \end{gathered}$$

Từ đó ta có:

$\mathrm{A}.\mathrm{F}=\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2.\frac{1}{2}\mathrm{xy}=\frac{1}{10}{\mathrm{x}}^6{\mathrm{y}}^3$

$\Rightarrow$ nên A đúng

$$\begin{gathered} \mathrm{A}+\mathrm{C}=\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2+\left(\frac{-2}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2\right) \\ =\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{-2}{5}\right)\right]{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2=-\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ nên B đúng

$$\begin{gathered} \mathrm{A}-\mathrm{C}=\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2-\left(\frac{-2}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2\right) \\ =\left[\frac{1}{5}-\left(\frac{-2}{5}\right)\right]{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2=\frac{3}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ nên C sai

$$\begin{gathered} \mathrm{A}.\mathrm{D}=\frac{1}{5}{\mathrm{x}}^5{\mathrm{y}}^2.\left(\frac{-1}{10}{\mathrm{x}}^3{\mathrm{y}}^5\right) \\ =-\frac{1}{50}{\mathrm{x}}^8{\mathrm{y}}^7 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ nên D đúng

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{B}=-8{\mathrm{xy}}^2-\mathrm{xy}+10-9{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+3{\mathrm{xy}}^2 \\ =\left(-8{\mathrm{xy}}^2+3{\mathrm{xy}}^2\right)-9{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-\mathrm{xy}+10 \\ =-5{\mathrm{xy}}^2-9{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-\mathrm{xy}+10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{A}+\mathrm{B} \\ =4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-4{\mathrm{xy}}^2+\mathrm{xy}+7+\left(-5{\mathrm{xy}}^2-9{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-\mathrm{xy}+10\right) \\ =4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-4{\mathrm{xy}}^2+\mathrm{xy}+7-5{\mathrm{xy}}^2-9{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-\mathrm{xy}+10 \\ =\left(4{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-9{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}\right)+\left(-4{\mathrm{xy}}^2-5{\mathrm{xy}}^2\right)+\left(\mathrm{xy}-\mathrm{xy}\right)+\left(-7+10\right) \\ =-5{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-9{\mathrm{xy}}^2+3 \end{gathered}$$

Vậy tổng của hai đa thức A và B là $-5{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-9{\mathrm{xy}}^2+3$

Vì a là hằng số nên hệ số của đơn thức $2{\mathrm{axyz}}^2$ là 2a.

Biểu thức đại số là biểu thức bao gồm các phép toán trên các số (kể cả những chữ đại diện cho số)