Trang chủ Lớp 12 Toán Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án)

Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án)

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Mặt cầu

  • 392 lượt thi

  • 28 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

11/07/2024
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B  SAABC. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua các điểm S,A,B,C?
Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 2)

Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC cắt SC tại O.

Ta có  OA=OB=OCOC=OS         

OA=OB=OC=OS.

Vậy O là tâm mặt cầu qua các điểm S, A, B, C


Câu 2:

15/07/2024
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B  SAABC. Gọi I  J lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB  SC. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua năm điểm A, B, C, I, J?
Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 3)

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có:

ABBCOA=OC=OBAJ=JCOA=OC=OJ

Từ  BCABBCSA

BC(SAB)BCAI.

 AISB

AI(SBC)AIIC 

OA=OC=OI

OA=OB=OC=OI=OJ.

Vậy O là tâm mặt cầu cần tìm.


Câu 3:

22/07/2024
Cho hình chóp  có đáy ABCD là hình vuông và SAABCD. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. Điểm nào sau đây là tâm của mặt cầu qua bảy điểm A, B, C, D, I, J, K?
Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 4)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có BCABBCSA

BC(SAB)BCAI.

AISBAISBC

AIICOA=OC=OI.

Tương tự OA=OC=OK. 

Mà  AJSCOA=OC=OJ

OA=OB=OC

=OD=OI=OJ=OK

O là tâm mặt cầu cần tìm.


Câu 4:

22/07/2024
Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại D, DA vuông góc với mặt đáy. Biết AB=3a,BC=4a,AD=5a.  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán kính bằng
Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 5)

Gọi O là trung điểm của CD.

Ta có  OA=OB=OC=OD

=R=12CD.

Cạnh CD=AD2+AC2

=AD2+AB2+BC2

=5a2 

R=5a2.


Câu 5:

20/07/2024
Cho hình chóp tam giác  có các cạnh  vuông góc với nhau từng đôi một và SA=a,SB=b,SC=c. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính là:
Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 6)

Ta có  {SASBSASCSA(SBC).

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC  OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có  R=OS=OP2+SP2.

OP=SK=SA2=a2;

SP=12BC=12b2+c2

R=12a2+b2+c2.


Câu 6:

22/07/2024
Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA=SB=2a,SC=4a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính tính theo a là:
Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Ta có  SASBSASCSASBC.

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC  OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có  R=OS=OP2+SP2.

OP=SK=SA2=a;

SP=12BC

=12SB2+SC2

=a5

R=a6.


Câu 7:

22/07/2024
Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy là tam giác vuông tại A AB=3,AC=4, SA vuông góc với đáy, SA=214. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 8)

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có  R=OA=OP2+AP2

OP=AK=SA2=14;

AP=12BC

=1232+42=52

R=92

V=43πR3=2432π.


Câu 8:

23/07/2024
Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Đặt  R1=RABCD;

R2=RSAB,

AB=(SAB)(ABC)

Tam giác ABDC là hình vuông cạnh bằng 2a nên  

R1=AC2=2a22=a2.

Tam giác SAB vuông cân tại S nên  

R2=AB2=a.

Do SABABC 

nên r=RS.ABC

=R12+R22AB24=a2. 


Câu 9:

11/07/2024
Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,AD=2a, góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 450. Tính theo a thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 9)

Do  SAABCD

(SC;ABCD^)=SCA^=450.

Ta có:

 AC=AB2+AD2=a5

SA=ACtan450=a5.

Lại có: Rd=RABCD=AC2=a52.

Do  SAABCD

R=SA24+Rd2

=a102.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:  

V=43πR3=510πa33.


Câu 10:

11/07/2024
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, AB=a,BC=a3,SA=a2 và SB=a2,SC=a5. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 10)

Gọi H là trung điểm của AB.

Do SA=SBSHAB. 

Ta có:  SB2+BC2=SC2=5a2

SBBC

Mặt khác:  ABBC

BC(SAB)BCSH

Suy ra SHABC,

đặt R1=RABC=AC2=a.

Đặt R2=RSAB=SA.SB.AB4SSAB

=SA.SB.AB2.SH.AB=SA.SB2SH

=a2SH

Trong đó:

 SH=SB2HB2

=a72

R2=2a7

Suy ra:

  RS.ABC=R12+R22AB24

=a25914.


Câu 11:

14/07/2024
Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng ABC^=900. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Xem đáp án
Đáp án: D

Câu 12:

22/07/2024
Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Chọn C vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại tiếp.


Câu 13:

23/07/2024
Mặt cầu tâm O bán kính R = 17dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB=18dm,BC=24dm,CA=30dm. Tính khoảng cách từ O đến (P).
Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy CA2=AB2+BC2, do vậy tam giác ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay r=15dm. Ta có hình vẽ minh họa sau:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 11)

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

dO;P=R2r2

=172152=8


Câu 14:

14/11/2024
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng  23
Xem đáp án

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có bán kính r=AC'2  

mà AC'=23.3

r=23.32=3

Vậy V=43πr3=43π33=36π

*Phương pháp giải:

- Tính bán kính khối cầu 

- Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu để tính: V=43πR3

*Một số dạng bài và lý thuyết thêm về khối cầu:

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R).

Diện tích mặt cầu: S=4πR2

Thể tích khối cầu: V=43πR3

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

* Phương pháp giải:

- Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông.

+) Hình chóp tam giác:

Mặt cầu và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm I của SC

Bán kính là: R=SC2

+) Hình chóp tứ giác

Mặt cầu và phương pháp giải bài tập – Toán lớp 12 (ảnh 1)

A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm J của SC

Bán kính mặt cầu là: R=SC2

Dạng 1.2: Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

* Phương pháp giải: Gọi h là chiều cao hình chóp và Rb,Rd là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy và  là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu là:

R=Rb2+Rd222

Dạng 1.3: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

* Phương pháp giải: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và Stp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp: r=3VStp

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Bài tập Mặt cầu Toán 12

Các bài toán thực tế hình không gian (có đáp án)

Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)


Câu 15:

22/07/2024
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng:
Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Gọi I,  J,  K,  H,  M,  N lần lượt là trung trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD. Theo tính chất hình bình hành ta chứng minh được IK, JH, MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi giao điểm là O.

Vì ABCD là tứ diện đều

OI=OJ=OK

=OH=OM=ON

 OIAB,OKCD,

OMAC,ONBC

 O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh tứ diện ABCD

Xét hình vuông IJKH cạnh IH=a2 

OI=22IH=a24=R

V=43πR3=a3π224 .


Câu 16:

20/07/2024

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 12)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a. Gọi G là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón lần lượt là a33,a36. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón. Vậy V1V2=R3r3=8.


Câu 17:

19/07/2024

Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số V1V2, trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp 1 mặt hình vuông của chiếc hộp.

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 13)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R

Ta được: Thể tích hình lập phương là V2=8R3, thể tích quả bóng là:

V1=4πR33V1V2=π6


Câu 18:

23/07/2024

Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có đường chéo bằng 43cm. Thể tích của khối cầu là:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 14)

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 15)

Cho các đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như hình vẽ và gọi M, N là tâm các hình vuông ABB’A’ và ADD’C’

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Ta có:

A'C2=AA'2+AC2

=AA'2+AB2+AD2

=3a2=3.42

a2=16a=4

MN=BC=a=4

 bán kính khối cầu R=2

Thể tích khối cầu là:

V=43π.23=32π3


Câu 19:

22/07/2024
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=2a,AC=a. Mặt bên (SAB), (SCA) lần lượt là các tam giác vuông tại B và C. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABC bằng 23a3. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 16)

Gọi I là trung điểm của SA

Vì tam giác SAB vuông tại B nên  IA=IB=IS

Vì tam giác SAC vuông tại C nên  IA=IS=IC

Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Gọi D là trung điểm của BC ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  

IDABC

VS.ABC=2VI.ABC=23ID.SABC

ID=3VS.ABC2SABC=2a32a2=a

AD=12BC=a52

AI=AD2+ID2

=3a2=R


Câu 20:

16/07/2024
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB=AC=a,AA'=a2. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA’B’C’ là:
Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 17)

Ta có:

A'B'=AB=a

B'C'=A'B'2+A'C'2

=a2+a2=a2

B'C=B'C'2+C'C2

=2a2+2a2=2a

A'C=A'C'2+C'C2

=a2+2a2=a3

A'B'2+A'C2=a2+3a2

=4a2=B'C2

ΔA'B'C vuông tại A’.

Gọi I là trung điểm của B’C thì  IB'=IC=IA'

 ΔCC'B' vuông tại C’ nên  IB'=IC=IC'

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA’B’C’ và bán kính  R=12B'C=a

S=4πR2=4πa2


Câu 21:

22/07/2024
Cho mặt cầu S(I;R) và mặt phẳng (P) cách l một khoảng bằng R2. Khi đó giao của (P) và (S) là đường tròn có chu vi bằng:
Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta thấy:  dI;(P)=R2

r=R2dI;(P)2=R32

Khi đó chu vi đường tròn bằng S=2πr=R3π


Câu 23:

22/07/2024
Cho hai khối cầu có bán kính lần lượt bằng a và 2a. Tỉ số thể tích của khối cầu nhỏ với thể tích của khối cầu lớn bằng:
Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Thể tích khối cầu có bán kính r=a là:

V1=43πr3=43πa3 

Thể tích khối cầu có bán kính R = 2a là:

 V2=43πR3

=43π2a3=323πa3

V1V2=43πa3323πa3

=432=18


Câu 24:

17/07/2024
Cho mặt cầu (S). Biết rằng khi cắt mặt cầu (S) bởi một mặt phẳng cách tâm một khoảng có độ dài là 3 thì được giao tuyến là đường tròn (T) có chu vi là 12π. Diện tích của mặt cầu (S) bằng:
Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 18)

Gọi I, J theo thứ tự là tâm mặt cầu (S) và đường tròn (T), A là điểm bất kì thuộc đường tròn (T). Khi đó ta có:

IJ=3,2π.AJ=12π

AJ=6  

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AIJ ta có:  

AI=AJ2+IJ2

=62+32=35

 Bán kính của mặt cầu là  R=35

Vậy diện tích mặt cầu (S) là:

S=4πR2

=4π.352=180π


Câu 25:

09/11/2024
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a3,BC=2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30°. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng:
Xem đáp án

Đáp án đúng là A

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 19)

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ AHBCHBC  

Lại có AHBB' 

(do  BBABCAHBCC'B'

AC;BCC'B'^=AC'H^=30°

Ta có:  

AC=BC2AB2=a,

AH=AB.ACBC=a32

AC'=AHsinAC'H^=a3

CC'=AC'2AC2=a2

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó R=r2+h42 với r=BC2=a là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC và h=CC'=a2  

Do đó R=a2+a22=a62

S=4πR2=4π.6a24

=6πa2

*Phương pháp giải:

Dựng hình tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp

*Lý thuyết:

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

Lý thuyết Mặt cầu chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

- Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó.

Xem thêm

Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 


Câu 26:

23/07/2024
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,AD=2a,AA'=3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là:
Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp:

R=a2+b2+c22 

=a2+4a2+9a22

=a142

Thể tích khối cầu: V=43πR3

=43π.a1423

=714πa33


Câu 27:

15/07/2024
Cho một mặt cầu bán kính bằng 2. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?
Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh a

Bán kính mặt cầu nội tiếp r=a612=2

a=46 

Thể tích tứ diện đều đó là:

V=a3212

 =463212=643


Câu 28:

18/07/2024
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng R1+R2+R3
Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 20)

Gọi I1,I2,I3 là tâm của các hình cầu M, N, P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H, K, F là tiếp ba hình cầu với mặt phẳng (P)

Xét mặt phẳng I1I2KH có:

HK=I1I22I2KI1H2

R1+R22R1R22

=4R1R2=2R1R2=1

Tương tự: R1R3=94,R2R3=4 

R1R2R3=1.94.4=3

R1=34R2=43R3=3

Vậy  R1+R2+R3=34+43+3

=6112


Bắt đầu thi ngay