Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Khi quay đường thẳng, đường tròn quanh một trục cố định thì ta được mặt tròn xoay.

Khi quay một điểm quanh trục cố định ta chỉ được một đường tròn.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đáp án A: quay elip quanh trục đối xứng của nó ta được mặt tròn xoay nhưng không phải mặt cầu

Đáp án B: quay parabol quanh trục đối xứng của nó ta được mặt tròn xoay mà không phải mặt cầu.

Đáp án C: quay đường tròn quanh đường kính của nó ta được mặt cầu.

Đáp án D: quay nửa đường tròn quanh trục đối xứng của nó ta chỉ được nửa mặt cầu

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Nếu OH < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Mặt cầu (S) và đường thẳng d không có điểm chung nếu $d\left(O;d\right)>R$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

$\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng d, d’ thì góc $2\alpha$ là góc ở đỉnh của mặt nón.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Quay hình tam giác vuông ABC tại A có $\widehat{B}=30°$ quanh trục là đường thẳng AC ta được hình nón đỉnh C có góc ở đỉnh  $\widehat{C}=120°$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Điểm không thuộc mặt cầu thì có thể nằm ngoài hoặc nằm trong mặt cầu nên các điểm nằm trong mặt cầu vẫn thuộc khối cầu.

Do đó C sai.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Nếu (P) là mặt phẳng kính thì OH = 0 (H trùng O) hay (P) đi qua O là tâm mặt cầu, do đó (P) đi qua đường kính của mặt cầu.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$ với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy)

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a là

$D=2R=a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Áp dụng công thức : $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$ ta được:

$S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$ 

$=\pi \mathrm{.1.2}+\pi {.1}^2=3\pi \left(c{m}^2\right)$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Vì góc ở đỉnh bằng $60°$ nên thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2R=2a\sqrt{2}$, do đó độ dài đường sinh:

$l=2R=2a\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{xq}=\pi Rl=\pi .a\sqrt{2}.2a\sqrt{2}$

$=4\pi a^2$

Diện tích đáy: $S_d=\pi R^2=\pi {\left(a\sqrt{2}\right)}^2=2\pi a^2$ 

Diện tích toàn phần:

$S_{tp}=S_{xq}+S_d$

$=4\pi a^2+2\pi a^2=6\pi a^2$ 

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Công thức tính diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Quay tam giác vuông ABC quanh cạnh huyền BC ta được hai hình nón.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h thì đường sinh $l=\sqrt{R^2+h^2}$

Khi đó diện tích xung quanh hình nón là: $S_{xq}=\pi Rl=\pi R\sqrt{R^2+h^2}$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Quan sát hình vẽ ta thấy hình trụ nội tiếp mặt cầu, hình nón nội tiếp mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp hình nón nên các đáp án A, C và D đúng.

Ngoài ra hình nón không nội tiếp hình trụ vì hình trụ không đi qua đỉnh hình nón.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Đường tròn $\left(C_M\right)$ là đường tròn đi qua điểm M

Vì $N\in \left(C_M\right)$ nhưng MN chưa chắc là đường kính nên A sai.

Ngoài ra, $d\left(M,\Delta \right)=MO=NO=d\left(N,\Delta \right)$ 

$\Delta$ vuông góc với mp chứa $\left(C_M\right)$ nên vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mp này.

Do đó $MN\perp \Delta$

Tam giác vuông AOM = AON (hai cạnh góc vuông) nên AM = AN.

Vậy các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Gọi J là trung điểm của AB.

Có: $\left\{\begin{array}{c}AB\perp IJ\\ AB\perp SI\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SJI\right)$ 

Nên:  $\left\{\begin{array}{c}\left(SAB\right)\perp \left(SIJ\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SIJ\right)=SJ\\ IH\perp SJ\end{array}\right.$

$\Rightarrow d\left(I;\left(SAB\right)\right)=IH=24$

$\frac{1}{I{H}^2}=\frac{1}{S{I}^2}+\frac{1}{I{J}^2}$

$\iff \frac{1}{I{J}^2}=-\frac{1}{{40}^2}+\frac{1}{{24}^2}$

$\iff IJ=30$

Nên: $BJ=\sqrt{{50}^2-{30}^2}=40$

Và $SJ=\sqrt{{40}^2+{30}^2}=50$

Vậy $S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SJ.AB$

$=\frac{1}{2}\mathrm{.50.80}=2000\left(c{m}^2\right)$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $EF=AF.\tan \beta$

$=a.\tan 30°=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Khi quay quanh trục DF, tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích

$V_1=\frac{1}{3}\pi .E{F}^2.AF$

$=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2.a=\frac{\pi a^3}{9}$

Khi quay quanh trục DF, hình vuồn ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích

$V_2=\pi .D{C}^2.BC$

$=\pi .a^2.a=\pi a^3$

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là:

$V=V_1+V_2$

$=\frac{\pi a^3}{9}+\pi a^3=\frac{10}{9}\pi a^3$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Gọi M là trung điểm BC, I là trung điểm BC’.

Khi đó, IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mặt khác, $IB=IC=IB\text{'}=IA\text{'}$. Do dó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’

Bán kính  $R=\frac{1}{2}.BC\text{'}$

$=\frac{1}{2}.\frac{AB}{\sin 60°}=\frac{4a}{2}=2a$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình nón ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.

Tam giác đều cạnh a có bán kính đương tròn ngoại tiếp bằng: $\frac{\sqrt{3}a}{3}$.

 Vậy thể tích của khối trụ cần tìm:

$V=h.S=h.\pi {\left(\frac{\sqrt{3}a}{3}\right)}^2$

$=\frac{\pi a^{2}h}{3}$ (đvtt)

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Do $\widehat{ABC}=120°$

$\Rightarrow \widehat{BAD}=60°$

$\Rightarrow \Delta ABD$ đều.

$\Rightarrow DA=DB=DC=a$ nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ 

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác SAB.

Qua D kẻ $d\perp \left(ABCD\right)$ và qua G kẻ $d\text{'}\perp \left(SAB\right)$  

Gọi $I=d\cap d\text{'}$ 

Ta có: $IA=IB=IC=ID$ 

Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính

$R=IA=\sqrt{A{D}^2+M{G}^2}$

$=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\frac{\sqrt{39}}{6}a$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Dựa vào giả thiết ta có bán kính đáy hình nón là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông nên $r=\frac{a}{2}$ 

Chiều cao hình nón là khoảng cách từ O đến mp (ABCD) nên h = 2a.

Độ dài đường sinh hình nón là:

$l=\sqrt{h^2+r^2}$

$=\sqrt{4a^2+{\frac{a}{4}}^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}$  

Diện tích xung quanh của hình nón là:  

$S_{xq}=\pi rl=\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{17}}{2}$

$=\frac{\pi a^2\sqrt{17}}{4}$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Đường tròn $\left(C_M\right)$ là đường tròn đi qua điểm M

Vì $N\in \left(C_M\right)$ nhưng MN chưa chắc là đường kính nên E sai.

Ngoài ra,

$d\left(M,\Delta \right)=MO=NO=d\left(N,\Delta \right)$

$\Delta$ vuông góc với mp chứa $\left(C_M\right)$ nên vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mp này.

Do đó $MN\perp \Delta$

Tam giác vuông AOM = AON (hai cạnh góc vuông) nên AM = AN.

Vậy các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Gọi J là trung điểm của AB.

Có: $\left\{\begin{array}{c}AB\perp IJ\\ AB\perp SI\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(SJI\right)$ 

Nên: $\left\{\begin{array}{c}\left(SAB\right)\perp \left(SIJ\right)\\ \left(SAB\right)\cap \left(SIJ\right)=SJ\\ IH\perp SJ\end{array}\right.$

$\Rightarrow d(I;\left(SAB\right))=IH=24$ 

$\frac{1}{I{H}^2}=\frac{1}{S{I}^2}+\frac{1}{I{J}^2}$

$\iff \frac{1}{I{J}^2}=-\frac{1}{{40}^2}+\frac{1}{{24}^2}$

$\iff IJ=30$

Nên: $BJ=\sqrt{{50}^2-{30}^2}=40$ 

Và  $SJ=\sqrt{{40}^2+{30}^2}=50$

Vậy $S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}SJ.AB$

$=\frac{1}{2}\mathrm{.50.80}=2000\left(c{m}^2\right)$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Thể tích mực nước ban đầu là:

$V_1=\pi r_1^2{h}_1=\pi .5,4^2.4,5$ 

Gọi R là bán kính của viên bi ta có sau khi thả viên bi vào cốc, chiều cao của mực nước bằng 2R, do đó tổng thể tích của nước và bi sau khi thẻ viên bi vào trong cốc là:

$V=\pi r_1^2.\left(2R\right)=\pi .5,4^2.2R$ 

Thể tích của quả cầu là: $V_{\left(C\right)}=\frac{4}{3}\pi R^3$ 

Ta có:$V=V_1+V_2$

$\iff 5,4^2.4,5+\frac{4}{3}{R}^3=5,4^2.2R$  

Giải phương trình trên với điều kiện $R<4,5\Rightarrow R=2,7cm$ 

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác can SAM. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy

 nên $R=OA=2a\sqrt{3},\widehat{ASB}=120°$ 

Xét tam giác SOA vuông tại O, ta có $\sin 60°=\frac{OA}{SA}$

$\Rightarrow SA=\frac{OA}{\sin 60°}=4a$ 

Diện tích thiết diện là $S_{SAM}=\frac{1}{2}SA.SM.\sin \widehat{ASM}$

$=\frac{1}{2}.4a.4a.\sin \widehat{ASM}$

$=8a^2.\sin \widehat{ASM}$ 

Do $0<\sin \widehat{ASM}\le 1$ nên  lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \widehat{ASM}=1$ hay khi tam giác ASM vuông cân đỉnh S (vì $\widehat{ASB}=120°>90°$ nên tồn tại tam giác ASM thỏa mãn)

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là: $S_{\max }=8a^2$ (đvdt)

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $EF=AF.\tan \beta$

$=a.\tan 30°=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Khi quay quanh trục DF, tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích

$V_1=\frac{1}{3}\pi .E{F}^2.AF$

$=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2.a$

$=\frac{\pi a^3}{9}$

Khi quay quanh trục DF, hình vuồn ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích

$V_2=\pi .D{C}^2.BC$

$=\pi .a^2.a=\pi a^3$

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục DF là:

$V=V_1+V_2$

$=\frac{\pi a^3}{9}+\pi a^3$

$=\frac{10}{9}\pi a^3$