Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$ Trục đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ cắt SC tại O.

Ta có  $\left\{\begin{array}{c}OA=OB=OC\\ OC=OS\end{array}\right.$

$\Rightarrow OA=OB=OC=OS.$

Vậy O là tâm mặt cầu qua các điểm S, A, B, C

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}AB\perp BC\Rightarrow OA=OC=OB\\ AJ=JC\Rightarrow OA=OC=OJ\end{array}\right.$

Từ  $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\iff BC\perp AI.$

Mà $AI\perp SB$

$\Rightarrow AI\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AI\perp IC$ 

$\Rightarrow OA=OC=OI$

$\Rightarrow OA=OB=OC=OI=OJ.$

Vậy O là tâm mặt cầu cần tìm.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AI.$

$AI\perp SB\Rightarrow AI\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow AI\perp IC\Rightarrow OA=OC=OI.$

Tương tự $OA=OC=OK.$ 

Mà  $AJ\perp SC\Rightarrow OA=OC=OJ$

$\Rightarrow OA=OB=OC$

$=OD=OI=OJ=OK$

$\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu cần tìm.

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của CD.

Ta có  $OA=OB=OC=OD$

$=R=\frac{1}{2}CD.$

Cạnh $CD=\sqrt{A{D}^2+A{C}^2}$

$=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2+B{C}^2}$

$=5a\sqrt{2}$ 

$R=5a\sqrt{2}.$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có  $\{\begin{array}{c}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right).$

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC và OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có  $R=OS=\sqrt{O{P}^2+S{P}^2}.$

$OP=SK=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2};$

$SP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2}$

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Ta có  $\left\{\begin{array}{c}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\right.\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right).$

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC và OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có  $R=OS=\sqrt{O{P}^2+S{P}^2}.$

$OP=SK=\frac{SA}{2}=a;$

$SP=\frac{1}{2}BC$

$=\frac{1}{2}\sqrt{S{B}^2+S{C}^2}$

$=a\sqrt{5}$

$R=a\sqrt{6}.$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Kí hiệu các điểm như hình vẽ với OP là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và OK là trung trực của SA thì O là tâm mặt cầu.

Ta có  $R=OA=\sqrt{O{P}^2+A{P}^2}$

$OP=AK=\frac{SA}{2}=\sqrt{14};$

$AP=\frac{1}{2}BC$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+4^2}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow R=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{243}{2}\pi .$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Đặt  $R_1=R_{ABCD};$

$R_2=R_{SAB},$

$AB=\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right)$

Tam giác ABDC là hình vuông cạnh bằng 2a nên  

$R_1=\frac{AC}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}.$

Tam giác SAB vuông cân tại S nên  

$R_2=\frac{AB}{2}=a.$

Do $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right)$ 

nên $r=R_{S.ABC}$

$=\sqrt{R_1^2+R_2^2-\frac{A{B}^2}{4}}=a\sqrt{2}.$ 

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Do  $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow \left(\widehat{SC;\left(ABCD\right)}\right)=\widehat{SCA}={45}^0.$

Ta có:

 $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{5}$

$\Rightarrow SA=AC\tan {45}^0=a\sqrt{5}.$

Lại có: $R_d=R_{ABCD}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Do  $SA\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow R=\sqrt{\frac{S{A}^2}{4}+R_d^2}$

$=\frac{a\sqrt{10}}{2}.$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:  

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{5\sqrt{10}\pi a^3}{3}.$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

Do $SA=SB\Rightarrow SH\perp AB.$ 

Ta có:  $S{B}^2+B{C}^2=S{C}^2=5a^2$

$\Rightarrow SB\perp BC$

Mặt khác:  $AB\perp BC$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SH$

Suy ra $SH\perp \left(ABC\right),$

đặt $R_1=R_{ABC}=\frac{AC}{2}=a.$

Đặt $R_2=R_{SAB}=\frac{SA.SB.AB}{4S_{SAB}}$

$=\frac{SA.SB.AB}{2.SH.AB}=\frac{SA.SB}{2SH}$

$=\frac{a^2}{SH}$

Trong đó:

 $SH=\sqrt{S{B}^2-H{B}^2}$

$=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

$\Rightarrow R_2=\frac{2a}{\sqrt{7}}$

Suy ra:

  $R_{S.ABC}=\sqrt{R_1^2+R_2^2-\frac{A{B}^2}{4}}$

$=\frac{a\sqrt{259}}{14}.$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Chọn C vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy $C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2$, do vậy tam giác ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay $r=15dm$. Ta có hình vẽ minh họa sau:

Nhìn vào hình vẽ ta thấy:

$d\left(O;\left(P\right)\right)=\sqrt{R^2-r^2}$

$=\sqrt{{17}^2-{15}^2}=8$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có cạnh bằng  $2\sqrt{3}$

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có bán kính $r=\frac{AC\text{'}}{2}$  

mà $AC\text{'}=2\sqrt{3}.\sqrt{3}$

$\Rightarrow r=\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=3$

Vậy $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi 3^3=36\pi$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Gọi $I,J,K,H,M,N$ lần lượt là trung trung điểm $AB,BC,CD,DA,AC,BD.$ Theo tính chất hình bình hành ta chứng minh được $IK,JH,MN$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, gọi giao điểm là O.

Vì ABCD là tứ diện đều

$\Rightarrow OI=OJ=OK$

$=OH=OM=ON$

và $OI\perp AB,OK\perp CD,$

$OM\perp AC,ON\perp BC$

$\Rightarrow$ O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh tứ diện ABCD

Xét hình vuông IJKH cạnh $IH=\frac{a}{2}$ 

$\Rightarrow OI=\frac{\sqrt{2}}{2}IH=\frac{a\sqrt{2}}{4}=R$

$\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{a^3\pi \sqrt{2}}{24}$ .

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a. Gọi G là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón lần lượt là $\frac{a\sqrt{3}}{3},\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Gọi $V_1$, $V_2$ lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón. Vậy $\frac{V_1}{V_2}=\frac{R^3}{r^3}=8$.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R

Ta được: Thể tích hình lập phương là $V_2=8R^3$, thể tích quả bóng là:

$V_1=\frac{4\pi R^3}{3}\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi }{6}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Cho các đỉnh A, B, C, D, A’, B’, C’, D’ như hình vẽ và gọi M, N là tâm các hình vuông ABB’A’ và ADD’C’

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Ta có:

$A\text{'}{C}^2=AA{\text{'}}^2+A{C}^2$

$=AA{\text{'}}^2+A{B}^2+A{D}^2$

$=3a^2={3.4}^2$

$\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4$

$MN=BC=a=4$

$\Rightarrow$ bán kính khối cầu $R=2$

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi {.2}^3=\frac{32\pi }{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của SA

Vì tam giác SAB vuông tại B nên  $IA=IB=IS$

Vì tam giác SAC vuông tại C nên  $IA=IS=IC$

Do đó $IA=IB=IC=IS$ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Gọi D là trung điểm của BC ta có D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  

$\Rightarrow ID\perp \left(ABC\right)$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=2V_{I.ABC}=\frac{2}{3}ID.S_{ABC}$

$\Rightarrow ID=\frac{3V_{S.ABC}}{2S_{ABC}}=\frac{2a^3}{2a^2}=a$

$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow AI=\sqrt{A{D}^2+I{D}^2}$

$=\frac{3a}{2}=R$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$A\text{'}B\text{'}=AB=a$

$B\text{'}C\text{'}=\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+A\text{'}C{\text{'}}^2}$

$=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$B\text{'}C=\sqrt{B\text{'}C{\text{'}}^2+C\text{'}{C}^2}$

$=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a$

$A\text{'}C=\sqrt{A\text{'}C{\text{'}}^2+C\text{'}{C}^2}$

$=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow A\text{'}B{\text{'}}^2+A\text{'}{C}^2=a^2+3a^2$

$=4a^2=B\text{'}{C}^2$

$\Rightarrow \Delta A\text{'}B\text{'}C$ vuông tại A’.

Gọi I là trung điểm của B’C thì  $IB\text{'}=IC=IA\text{'}$

Mà $\Delta CC\text{'}B\text{'}$ vuông tại C’ nên  $IB\text{'}=IC=IC\text{'}$

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA’B’C’ và bán kính  $R=\frac{1}{2}B\text{'}C=a$

$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi a^2$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta thấy:  $d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{R}{2}$

$\Rightarrow r=\sqrt{R^2-d_{\left(I;\left(P\right)\right)}^2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Khi đó chu vi đường tròn bằng $S=2\pi r=R\sqrt{3}\pi$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có:

$R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Thể tích khối cầu có bán kính $r=a$ là:

$V_1=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi a^3$ 

Thể tích khối cầu có bán kính R = 2a là:

 $V_2=\frac{4}{3}\pi R^3$

$=\frac{4}{3}\pi {\left(2a\right)}^3=\frac{32}{3}\pi a^3$

$\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi a^3}{\frac{32}{3}\pi a^3}$

$=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Gọi I, J theo thứ tự là tâm mặt cầu (S) và đường tròn (T), A là điểm bất kì thuộc đường tròn (T). Khi đó ta có:

$IJ=3,2\pi .AJ=12\pi$

$\iff AJ=6$  

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AIJ ta có:  

$AI=\sqrt{A{J}^2+I{J}^2}$

$=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Bán kính của mặt cầu là  $R=3\sqrt{5}$

Vậy diện tích mặt cầu (S) là:

$S=4\pi R^2$

$=4\pi .{\left(3\sqrt{5}\right)}^2=180\pi$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ $AH\perp BC\left(H\in BC\right)$  

Lại có $AH\perp BB\text{'}$ 

(do  $BB\perp \left(ABC\right)\Rightarrow AH\perp \left(BCC\text{'}B\text{'}\right)$

$\Rightarrow \left(\widehat{AC;\left(BCC\text{'}B\text{'}\right)}\right)=\widehat{AC\text{'}H}=30°$

Ta có:  

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=a,$

$AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AC\text{'}=\frac{AH}{\sin \widehat{AC\text{'}H}}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow CC\text{'}=\sqrt{AC{\text{'}}^2-A{C}^2}=a\sqrt{2}$

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó $R=\sqrt{r^2+{\frac{h}{4}}^2}$ với $r=\frac{BC}{2}=a$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC và $h=CC\text{'}=a\sqrt{2}$  

Do đó $R=\sqrt{a^2+{\frac{a}{2}}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi .\frac{6a^2}{4}$

$=6\pi a^2$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình hộp:

$R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$ 

$=\frac{\sqrt{a^2+4a^2+9a^2}}{2}$

$=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

$=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{a\sqrt{14}}{2}\right)}^3$

$=\frac{7\sqrt{14}\pi a^3}{3}$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh a

Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=2$

$\Rightarrow a=4\sqrt{6}$ 

Thể tích tứ diện đều đó là:

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

 $=\frac{{\left(4\sqrt{6}\right)}^3\sqrt{2}}{12}=64\sqrt{3}$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Gọi $I_1,I_2,I_3$ là tâm của các hình cầu M, N, P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H, K, F là tiếp ba hình cầu với mặt phẳng (P)

Xét mặt phẳng $\left(I_1{I}_{2}KH\right)$ có:

$HK=\sqrt{I_1{I_2}^2-{\left(I_{2}K-I_{1}H\right)}^2}$

$\sqrt{{\left(R_1+R_2\right)}^2-{\left(R_1-R_2\right)}^2}$

$=\sqrt{4R_1{R}_2}=2\Rightarrow R_1{R}_2=1$

Tương tự: $R_1{R}_3=\frac{9}{4},R_2{R}_3=4$ 

$\Rightarrow R_1{R}_2{R}_3=\sqrt{1.\frac{9}{4}.4}=3$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{R}_1=\frac{3}{4}\\ R_2=\frac{4}{3}\\ R_3=3\end{array}\right.$

Vậy  $R_1+R_2+R_3=\frac{3}{4}+\frac{4}{3}+3$

$=\frac{61}{12}$