Lời giải:

+ Vì a < b $\iff$ 2a < 2b

$\iff$ 2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5

hay 2a + 1 < 2b + 5 nên A đúng.

+ Vì a < b $\iff$ -3a > -3b

$\iff$ 7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b

hay 7 - 3a > 4 - 3b nên B đúng.

+ Vì a < b $\iff$ a - b < b - b

$\iff$ a - b < 0 nên C đúng.

+ Vì a < b $\iff$ -3a > -3b

$\iff$ 2 - 3a > 2 - 3b nên D sai.

Lời giải:

* Với a > b > 0 ta có:

+) a. a > a. b $\iff$ a² > ab

+) Ta có: a² > ab

$\Rightarrow$ a². a > a. ab $\iff$ a³ > a²b

Mà a > b > 0

$\Rightarrow$ ab > b. b $\iff$ ab > b²

$\Rightarrow$ ab. a > b². b $\Rightarrow$ a²b > b³.

 $\Rightarrow$a²b > b³ $\Rightarrow$ a³ > a²b > b³.

 $\Rightarrow$a³ > b³

Vậy a³ > b³.

Lời giải:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức

a + 1 ≤ b + 2 với 2 > 0 ta được

2(a + 1) ≤ 2(b + 2)

$\iff$ 2a + 2 ≤ 2b + 4.

Lời giải:

Xét hiệu

P = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ - ab

=$\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}-\text{2ab}}{\text{2}}=\frac{{\text{(a}-\text{b)}}^{\text{2}}}{\text{2}}$  ≥ 0

(luôn đúng với mọi a, b)

Nên $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}{\text{2}}$ ≥ ab

Lời giải:

P = a² + b² + c² - (ab + bc + ca)

= $\frac{1}{2}$(2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca)

=$\frac{1}{2}$ [(a² - 2ab + b²) + (a² - 2ac + c²) + (b² - 2bc - c²)]

=$\frac{1}{2}$ [(a - b)² + (a - c)² + (b - c)²] ≥ 0

với mọi a, b, c (vì (a - b)² ≥ 0;

(a - c)² ≥ 0; (b - c)² ≥ 0 với mọi a, b, c)

Nên P ≥ 0

$\iff$ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac.

Lời giải:

Xét hiệu P = a² + b² - 2ab

= (a - b)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b)

Nên a² + b² > 2ab với mọi a, b.

Dấu “=” xảy ra khi a = b.

Lời giải:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức

a - 2 ≤ b - 1 với 2 > 0 ta được:

2(a - 2) ≤ 2(b - 1)

$\iff$ 2a - 4 ≤ 2b - 2.

Lời giải:

Theo đề bài ta có: -2x + 3 < -2y + 3

 $\Rightarrow$-2x + 3 - 3 < -2y + 3 - 3

 $\Rightarrow$-2x < -2y

 $\Rightarrow$-2. $\left(-\frac{\text{1}}{\text{2}}\right)$x > -2.$\left(-\frac{\text{1}}{\text{2}}\right)$ y

 $\Rightarrow$x > y.

Lời giải:

Theo đề bài ta có: -3x - 1 < -3y - 1

 $\Rightarrow$-3x - 1 + 1 < -3y - 1 + 1

 $\Rightarrow$-3x < -3y

 $\Rightarrow$-3. $\left(-\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$x > -3. $\left(-\frac{\text{1}}{\text{3}}\right)$y

 $\Rightarrow$x > y.

Lời giải:

Ta có a³ + b³ - ab² - a²b

= a²(a - b) - b²(a - b)

= (a² - b²) (a - b)

= (a - b)(a + b)(a - b)

= (a - b)²(a + b) ≥ 0 (vì (a - b)² ≥ 0

với mọi a, b và a + b > 0 với a > 0, b > 0).

Lời giải:

* Với a > b > 0 ta có:

+) a. a > a. b $\iff$ a² > ab

+) Ta có: a² > ab $\Rightarrow$ a².a > a. ab

$\iff$ a³ > a²b

Mà

a > b > 0 $\Rightarrow$ ab > b.b $\iff$ ab > b²

$\Rightarrow$ ab. a > b². b $\Rightarrow$ a².b > b³.

 a²b > b³ $\Rightarrow$ a³ > a²b > b³

 $\Rightarrow$a³ > b³

Vậy a² > ab và a³ > b³.

Lời giải:

+ Ta có: (-4).5 = 4.(-5) → Khẳng định (1) sai.

+ Ta có: 12 > 11 ⇒ 12.(-7) < 11.(-7) → Khẳng định (2) sai.

+ Ta có: x² ≥ 0 ⇒ - 4x² ≤ 0 → Khẳng định (3) sai

Lời giải:

Ta có:

a² + b² + c² - (2ab + 2bc - 2ca)

= a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ca

= a² + b² + c² + 2a(-b) + 2c(-b) + 2ac

= [a + (-b) + c]²

= (a - b + c)² ≥ 0, "a, b, c

Do đó a² + b² + c² - (2ab + 2bc - 2ca) ≥ 0

 $\Rightarrow$a² + b² + c² ≥ 2ab + 2bc - 2ca

Dấu “=” xảy ra khi a - b + c = 0.

Lời giải

Lời giải:

Lời giải:

Từ x + y > 1, bình phương hai vế (hai vế đều dương) được

x² + 2xy + y² > 1 (1)

Từ (x - y)² ≥ 0

suy ra x² - 2xy + y² ≥ 0. (2)

Cộng từng vế (1) với (2) được 2x² + 2y² > 1.

Chia hai vế cho 2 được x² + y² >$\frac{1}{2}$ .

Lời giải:

Ta có: -2020a > -2020b

$\iff$-2020.$\left(-\frac{\text{1}}{\text{2020}}\right)$ a < -2020.$\left(-\frac{\text{1}}{\text{2020}}\right)$b

$\iff$ a < b.

Lời giải:

Ta có: a³ + b³ - ab² - a²b = a²(a - b) - b²(a - b)

= (a - b)²(a + b) ≥ 0 (vì (a - b)² ≥ 0

với mọi a, b và a + b > 0 với a > 0, b > 0).

Do đó a³ + b³ - ab² - a²b ≥ 0 hay a³ + b³ ≥ ab² + a²b.

Lời giải:

Từ x + y ≥ 1, bình phương hai vế (hai vế đều dương) được

x² + 2xy + y² ≥ 1 (1)

Từ (x - y)² ≥ 0

suy ra x² - 2xy + y² ≥ 0. (2)

Cộng từng vế (1) với (2) được: 2x² + 2y² ≥ 1.

Chia hai vế cho 2 ta được: x² + y² ≥ .

Dấu “=” xảy ra khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\text{x}+\text{y}=\text{1}\\ {(x-y)}^2=\text{0}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\text{x}+\text{y}=\text{1}\\ \text{x}=\text{y}\end{array}\right. \\ \iff \text{x}=\text{y}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.} \end{gathered}$$

Lời giải:

(2): x² + y³ ≤ 0

Với $\left\{\begin{array}{l}\text{x}>\text{0}\\ \text{y}>\text{0}\end{array}\right.=>\left\{\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}>\text{0}\\ {\text{y}}^{\text{3}}>\text{0}\end{array}\right.$

$=>{\text{x}}^{\text{2}}+{\text{y}}^{\text{3}}>\text{0}$

 $\Rightarrow$Khẳng định (2) sai.

Khẳng định (1) đúng

$\Rightarrow$ Khẳng định (3) sai.