Lời giải

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên hình thang cân ABCD

có thêm $\widehat{BCD}$ = 90⁰ thì nó sẽ là hình chữ nhật nên D đúng.

Lời giải

Nối AC, BD

+ Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB; AD

nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD

Suy ra MQ // BD; MQ = $\frac{1}{2}$BD (1)

+ Tương tự, xét tam giác CBD có N, P lần lượt là trung điểm

của BC; CD nên NP là đường trung bình của tam giác CBD.

Suy ra NP // BD; NP = $\frac{1}{2}$BD (2)

Từ (1) và (2) => MQ // NP; MQ = NP

=> MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+ Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật

thì $\widehat{MQP}$ = 90⁰ hay MQ ⊥ QP

Lại có QP // AC (do QP là đường trung bình của tam giác DAC)

nên MQ ⊥ AC mà MQ // BD (cmt) nên AC ⊥ BD

Vậy tứ giác ABCD cần có AC ⊥ BD thì MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải

Ta thấy AD = BC, AD // BC, $\hat{A} =$ 90⁰ thì ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông

nên ABCD là hình chữ nhật

Lời giải

Từ giả thiết ta có ME // AF; MF // AE nên tứ giác AEMF là hình bình hành (dhnb).

Để hình bình hành AEMF là hình chữ nhật

thì $\widehat{EAF}$ = 90⁰ nên tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

+ Ta thấy AB = CD = AD = BC thì ABCD chỉ có bốn cạnh bằng nhau nên ABCD chưa chắc là hình chữ nhật .

Nếu $\hat{A} =\widehat{B }=\hat{C}$ = 90⁰ thì tứ giác ABCD có ba góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).

+ Nếu $\hat{A} =\widehat{B }=\hat{C}$ = 90⁰ và AB // CD thì tứ giác ABCD có

AD // BC; AB // CD nên ABCD là hình bình hành,

lại có  90⁰ nên ABCD là hình chữ nhật. (do dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông)

+ Nếu AB // CD; AB = CD và AC = BD thì ABCD là hình bình hành

(do có cặp cạnh đối AB; CD song song và bằng nhau),

lại có hai đường chéo bằng nhau AC = BD nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau).

Lời giải

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên hình bình hành ABCD

có AC = BD thì ABCD là hình chữ nhật

Lời giải

Xét tứ giác ADME có $\widehat{A }=\widehat{ADM }=\widehat{AEM}$ = 90⁰ nên ADME là hình chữ nhật

Lời giải

Vì ADME là hình chữ nhật (theo câu trước) nên

AM = DE (tính chất)

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC

Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 5² + 12²

=> BC² = 169. Suy ra BC = 13 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 13 : 2 = 6,5cm

Lời giải

Từ định nghĩa là tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.

Lời giải

+ Xét tứ giác ADME có $\widehat{A }=\widehat{E }=\hat{D}$ = 90⁰ nên ADME là hình chữ nhật

+ Xét tam giác DMB có $\hat{B}$ = 45⁰ (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó Dm = BD

+ Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2

= 6.2 = 12 cm

Vậy chu vi ADME là 12cm

Lời giải

+ Xét tứ giác ADME có $\widehat{A }=\widehat{E }=\hat{D}$ = 90⁰ nên ADME là hình chữ nhật

+ Xét tam giác DMB có $\hat{B}$ = 45⁰ (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó DM = BD

+ Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là:

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 8.2 = 16 cm

Vậy chu vi ADME là 12cm

Lời giải

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên

suy ra AI = $\frac{1}{2}$QM

IH là đường trung bình của tam giác QMN

nên IH = $\frac{1}{2}$MN, IH // MN

Tương tự KC = $\frac{1}{2}$NP, HK =$\frac{1}{2}$ PQ, HK // PQ

Do đó AI + IH + HK + KC = $\frac{1}{2}$P_MNPQ

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C

ta có: AI + IH + HK + KC ≥ AC

Do đó P_MNPQ ≥ 2AC (không đổi)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hang theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN // AC // QP, QM // BD // NP hay MNPQ là hình bình hành

Theo định lý Pytago cho tam giác ACB vuông tại A ta có

AC² = AB² + BC²

= AB² + AD² = a² + b²

=> AC = $\sqrt{a^2+b^2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ

là 2AC = 2$\sqrt{a^2+b^2}$

Lời giải

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = AC; AD = BC; AC = BD

và AC, BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Hay OA = OB = OC = OD nên A, B, C đúng, D sai.

Lời giải

+ Xét tam giác ABC có E là trung điểm AB; D là trung điểm AC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC

=> ED // BC; ED =$\frac{1}{2}$ BC (1)

+ Xét tam giác GBC có N là trung điểm của GB; M là trung điểm GC nên MN là đường trung bình của tam giác GBC.

=> MN // BC; MN = $\frac{1}{2}$BC (2)

Từ (1), (2) => MN // ED, MN = ED nên tứ giác MNED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lời giải

+ Xét tam giác ABG có EN là đường trung bình nên EN // AG hay EN // AI.

+ Để hình bình hành MNED là hình chữ nhật thì $\widehat{ENM}$ = 90⁰

=> EN ⊥ MN. Mà MN // BC (câu trên) nên EN ⊥ BC

+ Lại có EN // AI suy ra AI ⊥ BC

Xét tam giác ABC có AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A.

Lời giải

Xét tứ giác: AECH có: I là trung điểm của AC (gt); I là trung điểm của HE

(do H và E đối xứng nhau qua I)

Do đó AECH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Lại có $\widehat{AHC}$ = 90⁰, nên AECH là hình chữ nhật (dhnb)

Lời giải

Lời giải

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD.

Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A

Suy ra DQ = QE = DE : 2

Tương tự tam giác BCF cân tại C,

do đó FN = BN = BF : 2

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song),

suy ra DE = BF

Suy ra DQ = FN và DQ // FN.

Vậy DQNF là hình bình hành,

từ đó QN = DF = CD =CF

Mà CD = AB = a, CF = CB = b,

do đó: QN = a – b

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AC² + AB² hay BC² = 6² + 8²

=> BC² = 100. Suy ra BC = 10 (cm)

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5cm

Lời giải

+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên D đúng

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên B đúng

+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên C đúng

+ Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông nên A sai

Lời giải

Xét tam giác ABD có: M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML // AB và ML = AB: 2 = 3.

Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, IK // AB và IK = AB : 2 = 3.

Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bồn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có: MI =$\frac{1}{2}$ (AB + CD)

= $\frac{1}{2}$(6 + 18) = 12

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra KL = MI – ML – KI

= 12 – 3 – 3 = 6

Xét tứ giác ABKL có:

KL = AB ( = 6); KL // AB.

Do đó ABKL là hình bình hành.

Lại có: BL = $\frac{1}{2}$BD, AK =$\frac{1}{2}$ AC

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân)

Suy ra AK = BL

Xét hình bình hành ABKL có AK = KL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật

Lời giải

Theo câu trên ta có: AB = KL = 6

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AML ta có:

AL² = AM² – ML²

= 5² – 3² = 16

Vậy AL = BK = 4

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AKL ta có:

AK² = AL² + LK²

= 4² + 6² = 16 + 36 = 52

Vậy AK = BL =$\sqrt{52}$

Vậy AB = 6; AL = 4; AK =$\sqrt{52}$