29 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

$\{\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{- 3 + 1}{2} = - 1 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \\ z_{M} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow M (- 1; 1; 1)$

Câu 4:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (- 1; 2; 5), B (3; - 6; 3)

. Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng (Oyz) là điểm nào dưới đây?

A. P(3;0;0)

B. N(3;-1;5)

C. M(0;-2;4)

D. Q(0;0;5)

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Trung điểm I của AB có tọa độ $I (1; - 2; 4)$

Vậy hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (Oyz) là: $M (0; - 2; 4)$

Câu 5:

17/06/2026

Cho hai véc tơ

\vec{u} (m; 2; 1)

và

\vec{v} = (0; n; p)

. Biết

\vec{u} = \vec{v}

, giá trị

T = m - n + p

bằng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. – 1

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Do u = v nên $m = 0, n = 2, p = 1$

Vậy $m - n + p = 0 - 2 + 1 = - 1$

Câu 6:

17/06/2026

Cho hai điểm

M (- 1; - 2; - 2), N (- 3; 4; 1)

. Tọa độ vec tơ

\vec{O M} - \vec{O N}

là:

A. (-2;6;3)

B. (2;-6;-3)

C. (-4;2;-1)

D. (2;2;-3)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Vì $M (- 1; - 2; - 2), N (- 3; 4; 1)$ nên $\vec{O M} = (- 1; - 2; - 2),$

$\vec{O N} = (- 3; 4; 1)$

Do đó, $\vec{O M} - \vec{O N} = (2; - 6; - 3)$

Câu 7:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vec tơ

\vec{u} = (x; 2; 1)

và vec tơ

\vec{v} = (1; - 1; 2 x)

. Tính tích vô hướng của

\vec{u}

và

\vec{v}

A. -2 - x

B. 3x + 2

C. 3x - 2

D x + 2

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

$\vec{u} . \vec{v} = x .1 + 2. (- 1) + 1.2 x$

$= 3 x - 2$

Câu 8:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho

\vec{a} (- 2; - 3; 3), \vec{b} = (0; 2; - 1),

\vec{c} = (- 3; 2; 5)

. Tìm tọa độ của vec tơ

\vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 4 \vec{c}

A. (16;-4;29)

B. (-16;-4;-29)

C. (-16;-4;29)

D. (-16;4;29)

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

$\vec{u} = 2 \vec{a} - 3 \vec{b} + 4 \vec{c}$

$= 2 (- 2; - 3; 3) - 3 (0; 2; - 1) + 4 (- 3; 2; 5)$

$= (- 4; - 6; 6) - (0; 6; - 3) + (- 12; 8; 20)$

= $(- 16; - 4; 29)$

Câu 9:

17/06/2026

Véc tơ đơn vị trên trục Oy là:

A.

\vec{i}

B.

\vec{j}

C.

\vec{k}

D.

\vec{0}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Véc tơ $\vec{j}$ là véc tơ đơn vị của trục Oy.

Câu 10:

17/06/2026

Chọn mệnh đề đúng:

A.

\vec{i} = 1

B.

|\vec{i}| = 1

C.

|\vec{i}| = 0

D.

|\vec{i}| = \vec{i}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$ nên B đúng và các đáp án còn lại sai.

Câu 11:

17/06/2026

Độ dài đoạn thẳng AB với

A (2; 1; 0), B (4; - 1; 1)

là một số:

A. Nguyên âm

B. Vô tỉ

C. Nguyên dương

D. Bằng 0

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$A B$

$= \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$

$= \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}}$

$= \sqrt{9} = 3$

Do đó độ dài đoạn thẳng là một số nguyên dương.

Câu 12:

17/06/2026

Chọn mệnh đề sai:

A.

\vec{i} . \vec{j} = 0

B.

\vec{k} . \vec{j} = 0

C.

\vec{j} . \vec{k} = \vec{0}

D.

\vec{i} . \vec{k} = 0

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $\vec{i} . \vec{j} = \vec{j} . \vec{k} = \vec{k} . \vec{i} = 0$ nên các đáp án A, B, D đều đúng.

Đáp án C sai vì tích vô hướng hai véc tơ là một số, không phải một véc tơ.

Câu 13:

17/06/2026

Điểm

M (x; y; z)

nếu và chỉ nếu:

A.

\vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}

B.

\vec{O M} = z . \vec{i} + y . \vec{j} + x . \vec{k}

C.

\vec{O M} = x . \vec{k} + y . \vec{j} + z . \vec{i}

D.

\vec{O M} = x . \vec{j} + y . k + z . \vec{i}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Điểm $M (x; y; z)$ $\Leftrightarrow \vec{O M} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$

Câu 14:

17/06/2026

Nếu có

\vec{O M} = a . \vec{i} + b . \vec{k} + c . \vec{j}

thì điểm M có tọa độ:

A. (a;b;c)

B. (a;c;b)

C. (c;b;a)

D. (c;a;b)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

$\vec{O M} = a . \vec{i} + b . \vec{k} + c . \vec{j}$

$= a . \vec{i} + c . \vec{j} + b . \vec{k}$

nên M(a;c;b)

Câu 15:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0

. Tính bán kính R của mặt cầu (S)

A.

R = 3

B.

R = 9

C.

R = \sqrt{3}

D.

R = 3 \sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Phương trình có dạng:

với $a = - 1; b = 2, c = 1, d = - 3$

Ta có công thức:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

$= \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 1^{2} - (- 3)} = 3$

Câu 16:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tập tất cả giá trị của tham số m để mặt cầu (S) có phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 m y - 4 z + m + 5 = 0

đi qua điểm

A (1; 1; 1)

A.

\emptyset

B.

\{- \frac{2}{3}\}

C.

\{0\}

D.

\{\frac{1}{2}\}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

(S) có dạng

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$

với $a = - 1, b = m, c = - 2, d = m + 5$

(S) là phương trình mặt cầu khi ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

$\Rightarrow 5 + m^{2} - (m + 5) > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - m > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \end{matrix}$

Điểm $A (1; 1; 1)$ thuộc phương trình mặt cầu

thì ta có:

$\Leftrightarrow 2 + 3 m = 0$

$\Leftrightarrow m = - \frac{2}{3}$ (thỏa mãn)

Câu 17:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9

. Điểm nào sau đây nằm ngoài mặt cầu (S)?

A.

M (- 1; 2; 5)

B.

N (0; 3; 2)

C.

P (- 1; 6; - 1)

D.

Q (2; 4; 5)

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 2; 3)$ , bán kính R = 3.

Xét điểm $P (- 1; 6; - 1)$ , ta có: $\vec{I P} = (- 2; 4; - 4)$

Suy ra $I P = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6 > R$

Do đó điểm P nằm ngoài mặt cầu (S).

Câu 18:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 4 z + m = 0

là phương trình của một mặt cầu.

A.

m > 6

B.

m \geq 6

C.

m \leq 6

D.

m < 6

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

(S) có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ với $a = - 1, b = - 1, c = - 2, d = m$

(S) là phương trình mặt cầu khi ta có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

$\Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$

Câu 19:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A (2; - 1; 3), B (4; 0; 1)

,

C (- 10; 5; 3)

. Độ dài đường phân giác trong góc

\hat{B}

của tam giác ABC bằng:

A.

2 \sqrt{3}

B.

2 \sqrt{5}

C.

\frac{2}{\sqrt{5}}

D.

\frac{2}{\sqrt{3}}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Gọi D là chân phân giác trong của góc $\hat{B}$ , ta có:

$\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C} = \frac{3}{15}$

$\Rightarrow \vec{D A} = - \frac{1}{5} \vec{D C}$

Gọi $D (x; y; z)$ , ta có:

$\vec{D A} = - \frac{1}{5} \vec{D C}$

$\Leftrightarrow - 5 \vec{D A} = \vec{D C}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} - 5 (2 - x) = - 10 - x \\ - 5 (- 1 - y) = 5 - y \\ - 5 (3 - z) = 3 - z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 x = 0 \\ 6 y = 0 \\ 6 z = 18 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \end{matrix}$

Suy ra $D (0; 0; 3) \Rightarrow B D = 2 \sqrt{5}$

Câu 20:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu:

{(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 20

A.

I (- 1; 2; - 4)

và

R = 5 \sqrt{2}

B.

I (- 1; 2; - 4)

và

R = 2 \sqrt{5}

C.

I (- 1; - 2; 4)

và

R = 20

D.

I (- 1; - 2; 4)

và

R = 2 \sqrt{5}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Phương trình có dạng ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ với $a = 1, b = - 2, c = 4, R = 2 \sqrt{5}$ có tâm $I (1; - 2; 4)$

Câu 21:

17/06/2026

Tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB là:

A.

M (\frac{- x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{- y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{- z_{A} + z_{B}}{2})

B.

M (\frac{x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B}}{3})

B.

M (\frac{x_{A} + x_{B}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B}}{3})

D.

M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB nếu và chỉ nếu $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$

Câu 22:

17/06/2026

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$

Câu 23:

17/06/2026

Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là:

Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là

Câu 24:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có

A (- 1; - 2; 4)

,

B (- 4; - 2; 0)

và

C (3; - 2; 1)

. Tính số đo của góc B.

A.

45 °

B.

120 °

C.

90 °

D.

60 °

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $A B = 5, A C = 5, B C = 5 \sqrt{2}$

$\Rightarrow A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow \hat{A B C} = 45 °$

Câu 25:

17/06/2026

Cho hai vec tơ

\vec{a} = (1; 1; - 2), \vec{b} = (1; 0; m)

. Góc giữa chúng bằng

45 °

khi:

A.

m = 2 + \sqrt{5}

B.

m = 2 \pm \sqrt{6}

C.

m = 2 - \sqrt{6}

D.

m = 2 + \sqrt{6}

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $\cos (\vec{u}; \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{|\vec{u}| . |\vec{v}|}$

$\Leftrightarrow \cos 45 ° = \frac{1.1 + 1.0 - 2. m}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + m^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 - 2 m}{\sqrt{6} . \sqrt{1 + m^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{6 (1 + m^{2})} = \sqrt{2} (1 - 2 m)$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 (1 + m^{2}) = 2 {(1 - 2 m)}^{2} \\ 1 - 2 m \geq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 6 + 6 m^{2} = 2 (1 - 4 m + 4 m^{2}) \\ m \leq \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 + 6 m^{2} = 2 - 8 m + 8 m^{2} \\ m \leq \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 m^{2} - 8 m - 4 = 0 \\ m \leq \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 2 \pm \sqrt{6} \\ m \leq \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}$

Câu 26:

17/06/2026

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $A (0; 0; 1), B' (1; 0; 0), C' (1; 1; 0)$ . Tìm tọa độ điểm D.

A. D(0;1;1)

B. D(0;-1;1)

C. D(0;1;0)

D. D(1;1;1)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $A D / / B' C', A D = B' C'$ nên AB’C’D là hình bình hành, do đó AB’ // DC’ và

AB’ = DC’.

$\Rightarrow \vec{A B'} = \vec{D C'}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} 1 - 0 = 1 - x_{D} \\ 0 - 0 = 1 - y_{D} \\ 0 - 1 = 0 - z_{D} \end{matrix}$

$\Rightarrow {\begin{matrix} x_{D} = 0 \\ y_{D} = 1 \\ z_{D} = 1 \end{matrix}$

Vậy D(0;1;1)

Câu 27:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

M (2; - 1; 3), N (3; 2; - 4), P (1; - 1; 2)

. Xác định tọa độ điểm Q để MNPQ là hình bình hành.

A. Q(2;2;-5)

B. Q(2;-3;-5)

C. Q(0;-4;9)

D. Q(1;3;-2)

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Gọi $Q (a; b; c)$ .

Ta có: $\vec{M N} = (1; 3; - 7),$

$\vec{Q P} = (1 - a; - 1 - b; 2 - c)$

Vì MNPQ là hình bình hành nên $\vec{M N} = \vec{Q P}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} 1 - a = 1 \\ - 1 - b = 3 \\ 2 - c = - 7 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 0 \\ b = - 4 \\ c = 9 \end{matrix}$

Vậy $Q (0; - 4; 9)$

Câu 28:

17/06/2026

Tọa độ vec tơ

\vec{u} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}

thỏa mãn là:

A.

\vec{u} = (x; y; z)

B.

\vec{u} = (\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})

C.

\vec{u} = (x i; y j; z k)

D.

\vec{u} = (i; j; k)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

$\vec{u} = x . \vec{i} + y . \vec{j} + z . \vec{k}$ thì $\vec{u} = (x; y; z)$

Câu 29:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}

và điểm

A (5; 4; - 2)

. Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) là:

A.

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 65

B.

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9

C.

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + z^{2} = 64

D.

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 65

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Giả sử M là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy)

Vết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số $\{\begin{matrix} x = t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 1 - t \end{matrix}$

Ta có M thuộc d nên $M (t, 2 t + 1, - t - 1)$

Vì M thuộc (Oxy): z = 0 nên có $- t - 1 = 0$ hay t = -1, suy ra $M (- 1; - 1; 0)$

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M (- 1; - 1; 0)$ , bán kính

$M A = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(4 + 1)}^{2} + {(- 2 - 0)}^{2}}$

$= \sqrt{65}$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3