Tập xác định D = R.

Hàm số đã cho đồng biến trên R ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1.

Mà m ∈ Z và m ∈ [−3; 3] nên m ∈ {0; 1; 2; 3}.

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình (C_m′): y = m(x + 1)² − 2(m − 1) (x + 1) + 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

mx² − 2(m − 1)x + 1 = m(x + 1)² − 2(m −1 )(x + 1) + 1

 ⇔ 2mx + m − 2(m − 1) = 0 ⇔ 2mx – m + 2 = 0 ⇔  $x=\frac{m-2}{2m}$

Giao điểm có hoành độ x =  $\frac{1}{4}$ nên  $\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{4}$ ⇔ m = 4

Đối chiếu các đáp án ta thấy 1 < m < 5.

Đáp án cần chọn là: A

Tập xác định D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.

Ta có f(−x) = (−x)³ + (m² − 1)(−x)² + 2(−x) + m – 1

= −x³ + (m² − 1)x² − 2x + m− 1.

Để hàm số đã cho là hàm số lẻ khi f(−x) = −f(x), với mọi x ∈ D

⇔ −x³ + (m² − 1)x² − 2x + m – 1 = −[x³ + (m² − 1)x² + 2x + m − 1],

 với mọi x ∈ D

⇔ 2(m² − 1)x² + 2(m − 1) = 0, với mọi x ∈ D

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{m}^2-1=0\\ m-1=0\end{array}\right.$⇔ m = 1 ∈ (; 3).

Đáp án cần chọn là: A

Với mọi $x_1\ne x_2,$ ta có

$\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{\left[-x_1^2+(m-1)x_1+2\right]-\left[-x_2^2+(m-1)x_2+2\right]}{x_1-x_2}$

$=-(x_1+x_2)+m-1$

Để hàm số nghịch biến trên (1; 2) 

⇔ − (x₁ + x₂) + m – 1 < 0, với mọi x₁, x₂ ∈ (1; 2)

⇔ m < (x₁ + x₂) + 1, với mọi x₁, x₂ ∈ (1; 2)

⇔ m < (1 + 1) + 1 = 3

Đáp án cần chọn là: C

Hàm số xác định khi $\left\{\begin{array}{l}x-m+1\ge 0\\ -x+2m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge m-1\\ x<2m\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số $D=\left[m-1;2m\right)$ với điều kiện 

$m-1\le 2m\iff m>-1$

Hàm số đã cho xác định trên (-1; 3) khi và chỉ khi $\left(-1;3\right)\subset \left[m-1;2m\right)$

$$\begin{gathered} \iff m-1\le -1<3\le 2m \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge \frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m\in \varnothing \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Lấy $-1<x_1<x_2<0$ thì $x_2-x_1>0$ ta có:

$T_1=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{x_2-x_1}{x_2-x_1}=1>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;0\right)$ 

nên đáp án A đúng

$$\begin{gathered} T_2=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}}{x_2-x_1}=\frac{x_1-x_2}{x_1{x}_2{(x_2-x_1)}_{}} \\ =-\frac{1}{x_1{x}_2}<0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;0\right) \end{gathered}$$

 nên B sai.

$$\begin{gathered} T_3=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left|x_2\right|-\left|x_1\right|}{x_2-x_1} \\ =\frac{-x_2+x_1}{{(x_2-x_1)}_{}}=-1<0, \\ \forall x_1,x_2\in \left(-1;0\right) \end{gathered}$$

nên C sai

$$\begin{gathered} T_4=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{{x^2}_2-x_1^2}{x_2-x_1}=x_2+x_1<0, \\ \forall x_1,x_2\in \left(-1;0\right) \end{gathered}$$

nên D sai

Đáp án cần chọn là: A