Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax² +bx + c = 0 (a  0) trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số.

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình x +$\sqrt{x}$− 1 = 0 có chứa căn thức bên không là phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình 2x + 2y² + 3 = 9 có chứa hai biến x; y nên không là phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình $\frac{1}{x^2}$+ x + 1 = 0 có chứa ẩn ở mẫu thức nên không là phương trình bậc hai một ẩn.

Phương trình $\sqrt{2}$ x² + 1 = 0 và x² + 2019x = 0 là những phương trình bậc hai một ẩn.

Vậy có hai phương trình bậc hai một ẩn trong số các phương trình đã cho.

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình bậc hai một ẩn

ax² + bx + c = 0 (a $\ne$0) và biệt thức = b² – 4ac

TH1: Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2. Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm

kép x₁ = x₂ =$-\frac{b}{2a}$

TH3: Nếu > 0 thì phương trình có

hai nghiệm phân biệt x_{1, 2} =$\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình bậc hai một ẩn

ax² + bx + c = 0 (a$\ne$0) và biệt thức$∆$= b² – 4ac

TH1: Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2. Nếu = 0 thì phương trình

có nghiệm kép x₁ = x₂ =$-\frac{b}{2a}$

TH3: Nếu > 0 thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt x_{1, 2} =$\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

Đáp án cần chọn là: C

Xét phương trình bậc hai một ẩn

ax² + bx + c = 0 (a $\ne$0) và biệt thức = b² – 4ac

TH1: Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2. Nếu = 0 thì phương trình

có nghiệm kép x₁ = x₂ =$-\frac{b}{2a}$

TH3: Nếu > 0 thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt x_{1, 2} =$\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

Đáp án cần chọn là: C

Xét phương trình bậc hai một ẩn

ax² + bx + c = 0 (a$\ne$0) và biệt thức $∆$= b² – 4ac

TH1: Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2. Nếu = 0 thì phương trình

có nghiệm kép x₁ = x₂ =$-\frac{b}{2a}$

TH3: Nếu > 0 thì phương trình

có hai nghiệm phân biệt x_{1, 2} =$\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có 6x² – 7x = 0$\iff$x (6x – 7) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x-0\\ x=\frac{7}{6}\end{array}\right.$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là

$0+\frac{7}{6}=\frac{7}{6}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

3x² – 10x + 3 = 0$\iff$3x² – 9x − x + 3 = 0

$\iff$3x (x – 3) – (x – 3) = 0

$\iff$(3x – 1) (x – 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}3x-1=0\\ x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=3\end{array}\right.$

Nên tích các nghiệm của phương trình là$\frac{1}{3}.3=1$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: −4x² + 9 = 0$\iff$4x² = 9

$\iff x^2=\frac{9}{4}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}\\ x=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

phương trình có hai nghiệm

$x=\frac{3}{2}$;$x=-\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: −9x² + 30x − 25 = 0

$\iff$9x² − 30x + 25 = 0

$\iff$(3x)² – 2.3.5x + 5² = 0

$\iff$(3x – 5)² = 0 $\iff$3x – 5 = 0

$\iff$$x=\frac{5}{3}$

Phương trình có một nghiệm $x=\frac{5}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Thay x = 2 vào phương trình 4mx² – x – 10m² = 0,

ta có: 4m.2² – 2 – 14m² = 0

$\iff$14m² – 16m + 2 = 0

$\iff$(14m – 2) (m – 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{7}\\ m=1\end{array}\right.$

Suy ra tích các giá trị của m là$\frac{1}{7}.1=\frac{1}{7}$

Đáp án cần chọn là: A

Thay x = −3 vào phương trình

(m – 2)x² – (m² + 1)x + 3m = 0, ta có:

(m – 2) (−3)² – (m² + 1) (−3) + 3m = 0

$\iff$9m – 18 + 3m² + 3 + 3m = 0

$\iff$3m² + 12m – 15 = 0

$\iff$m² + 4m – 5 = 0

$\iff$m² – m + 5m – 5 = 0

$\iff$m (m – 1) + 5 (m – 1) = 0

$\iff$(m – 1) (m + 5) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.$

Suy ra tổng các giá trị của m là (−5) + 1 = −4

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: 9x² − 15x + 3 = 0 (a = 9; b = −15; c = 3)

$\Rightarrow ∆$= b² – 4ac = (−15)² – 4.9.3 = 117 > 0

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: 

−13x² + 22x − 13 = 0 (a = −13; b = 22; x = −13)

$\Rightarrow ∆$= b² – 4ac = 22² – 4.(−13). (−13) = −192 < 0

nên phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Ta có x² − 2$\sqrt{2}$x + 2 = 0 (a = 1; b = −2$\sqrt{2}$; c = 2)

$\Rightarrow ∆$= b² – 4ac = (2$\sqrt{2}$)² – 4.1.2 = 0

nên phương trình có nghiệm kép

$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $\sqrt{3}$x² + ( $\sqrt{3}$− 1) x – 1 = 0 (a =$\sqrt{3}$; b = − 1; c = −1)

$\Rightarrow ∆$= b² – 4ac = ( $\sqrt{3}$− 1)² – 4.$\sqrt{3}$.(−1) = 4 − 2$\sqrt{3}$+ 4 = 4 + 2$\sqrt{3}$

= ( $\sqrt{3}$+ 1)²> 0 suy ra $∆$=$\sqrt{3}$ + 1 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

x₁$=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-\sqrt{3}+\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

x_{2$=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}=-1$}

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình −x² + 2mx – m² − m = 0 (a = −1; b = 2m; c = − m² – m)

$\Rightarrow ∆$= (2m)² – 4. (−1).( − m² – m) = 4m² – 4m² – 4m = − 4

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1\ne 0\\ -4m>0\end{array}\right.\iff m<0$

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình x² – 2(m – 2)x + m² − 3m + 5 = 0

(a = 1; b = – 2(m – 2); c = m² − 3m + 5)

$\Rightarrow ∆$= [– 2(m – 2)]² – 4.1.( m² − 3m + 5)

= 4m² − 16m + 16 − 4m² + 12m – 20

= − 4m – 4

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1\ne 0\\ -4m-4>0\end{array}\right.\iff$m < −1

Vậy với m < −1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình x² + mx − m = 0 (a = 1; b = m; c = −m)

$\Rightarrow ∆$= m² – 4.1.(−m) = m² + 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1\ne 0\\ m^2+4m=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-4\end{array}\right.$

Vậy với m = 0; m = −4 thì phương trình có nghiệm kép.

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình x² + (3 – m)x – m + 6 = 0 (a = 1; b = 3 – m; c = −m + 6)

$\Rightarrow ∆$= (3 – m)² – 4.1.( −m + 6) = m² – 6m + 9 + 4m – 24 = m² – 2m – 15

Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}1\ne 0\\ m^2-2m-15=0\end{array}\right.$

$\iff$m² – 2m – 15 = 0 (*)

Phương trình (*) có${\Delta }_m=$(−2)² – 4.1.(−15) = 64 > 0

$\Rightarrow \sqrt{{\Delta }_m}=8$ nên có hai nghiệm phân biệt

$m_1=\frac{2+8}{2}=5$; $m_2=\frac{2-8}{2}=-3$

Vậy với m = 5; m = −3 thì phương trình có nghiệm kép.

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình x² + (1 – m)x − 3 = 0 (a = 1; b = 1− m; c = −3)

$\Rightarrow ∆$= (1 – m)² – 4.1.(−3) = (1 – m)² + 12  12 > 0;$\forall m$

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình 2x² + 5x + m − 1 = 0 (a = 2; b = 5; c = m – 1)

$\Rightarrow ∆$= 5² – 4.2.(m – 1) = 25 – 8m + 8 = 33 – 8m

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta <0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2\ne 0\left(ld\right)\\ 33-8m<0\end{array}\right.\iff m>\frac{33}{8}$

Vậy với $m>\frac{33}{8}$ thì phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình (m + 2)x² + 2x + m = 0 (a = m + 2; b = 2; c = m)

TH1: m + 2 = 0$\iff$m = −2 ta có phương trình 2x – 2 = 0 $\iff$x = 1

TH2: m + 2 $\ne$0$\iff$m$\ne$−2

Ta có $∆$= 2² – 4(m + 2). m = −4m² – 8m + 4

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:

$\left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ -4m^2-8m+4<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ 2-{\left(m+1\right)}^2<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ {\left(m+1\right)}^2>2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ \left[\begin{array}{l}m+1>\sqrt{2}\\ m+1<-\sqrt{2}\end{array}\right.\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

TH1: m = 0 ta có phương trình 4x + 5 = 0$\iff$x$=\frac{-5}{4}$

TH2:$m\ne 0$

Ta có $∆$= [−2(m – 2)]² – 4m (m + 5) = − 36m + 16

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:

$\left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -36m+16<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 36m>16\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m>\frac{8}{19}\end{array}\right.\Rightarrow m>\frac{8}{19}$

Vậy với $m>\frac{8}{19}$ thì phương trình đã cho vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình mx² – 2(m – 1)x + m − 3 = 0

(a = m; b = −2(m – 1); c = m – 3)

TH1: m = 0 ta có phương trình

2x – 3 = 0$\iff$2x = 3$\iff$x$=\frac{3}{2}$

TH2: $m\ne$0, ta có $∆$= b² – 4ac = 4 (m – 1)² – 4m. (m – 3)

= 4m² – 8m + 4 – 4m² + 12 = 4m + 4

Để phương trình đã cho có nghiệm thì $∆\ge$0

$\iff$4m + 4$\ge$0$\iff$4m$\ge$−4$\iff$m$\ge$−1

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì m$\ge$−1

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình mx² + 2(m + 1)x + 1 = 0 (a = m; b = 2 (m + 1); c = 1)

TH1: m = 0 ta có phương trình 2x + 1 = 0

$\iff x=-\frac{1}{2}$nên nhận m = 0 (1)

TH2: m$\ne$0, ta có  = 4(m + 1)² – 4m.1 = 4m² + 4m + 4

= 4m² + 4m + 1 + 3= (2m + 1)² + 3

Để phương trình đã cho có nghiệm thì

$∆$$\ge$0$\iff$(2m + 1)² + 3$\ge$0

$\iff$(2m + 1)²$\ge$−3 (luôn đúng với mọi m) (2)

Từ (1) và (92) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m$\in ℝ$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình x² – (m – 1)x − m = 0

có a = 1; b = −(m – 1); c = −m

Suy ra: $∆$= [−(m – 1)]² – 4.1.(−m)

= m² + 2m + 1 = (m + 1)² $\ge$ 0,$\forall$m

Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình 2x² + (2m – 1)x + m² – 2m + 5 = 0

Có a = 2; b = 2m – 1; c = m² – 2m + 5

Suy ra: $∆$= (2m – 1)² – 4.2.( m² – 2m + 5)

= − 4m² + 12m – 39 = − (4m² – 12m + 9) – 30

= −(2m – 3)² – 30  − 30 < 0,$\forall m$

Nên phương trình đã cho vô nghiệm với mọi m

Đáp án cần chọn là: A

Thay x = −1 vào phương trình:

(−1)² – 2(3m + 2).(−1) + 2m² – 3m – 10 = 0

$\iff$2m² + 3m – 5 = 0$\iff$(2m + 5)(m – 1) = 0

$\left[\begin{array}{l}m=-\frac{5}{2}\left(L\right)\\ m=1\left(N\right)\end{array}\right.$

+) Với m = 1 ta có phương trình x² – 10x – 11 = 0

$\iff$(x – 11)(x + 1) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}x=11\\ x=-1\end{array}\right.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x = 11

Đáp án cần chọn là: A

Thay x = 3 vào phương trình:

m.3² – 4(m – 1).3 + 4m + 8 = 0$\iff$m = −20

Với m = −20 ta có phương trình

−20x² + 84x – 72 = 0$\iff$5x² – 21x + 18 = 0

Phương trình trên có $∆$= (−21)² – 4.5.18 = 81 > 0

$\Rightarrow \sqrt{\Delta }$= 9 nên có hai nghiệm phân biệt

$\left[\begin{array}{l}x=\frac{21+9}{2.5}=3\\ x=\frac{21-9}{2.5}=\frac{6}{5}\end{array}\right.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là$x=\frac{6}{5}$

Đáp án cần chọn là: D

Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình

thì x₀ phải thỏa mãn hai phương trình trên:

Thay x = x₀ vào hai phương trình trên ta được

$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2+m{x}_0+1=0\\ {x_0}^2+x_0+m=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow$(m – 1)x₀ + 1 – m = 0

$\iff$(m – 1)(x₀ – 1) = 0 (*)

Xét phương trình (*)

Nếu m = 1 thì 0 = 0 (luôn đúng)

hay hai phương trình trùng nhau

Lúc này phương trình x² + x + 1 = 0

vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy m = 1 không thỏa mãn.

+) Nếu $m\ne 1$thì x₀ = 1

Thay x₀ = 1 vào phương trình x₀² + mx₀ + 1 = 0 ta được m = −2

Thay m = −2 thì hai phương trình có nghiệm chung

Đáp án cần chọn là: D

Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình

thì x₀ phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay x = x₀ vào hai phương trình trên ta được

$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2+m{x}_0+2=0\\ {x_0}^2+2x_0+m=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow$(m – 2)x₀ + 2 – m = 0$\iff$(m – 2)(x₀ – 1) = 0

Nếu m = 2 thì 0 = 0 (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình x² + 2x + 2 = 0$\iff$(x + 1)² = −1

vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm

Vậy m = 2 không thỏa mãn.

Nếu m$\ne$2 thì x₀ = 1

Thay x₀ = 1 vào phương trình x₀² + mx₀ + 2 = 0

ta được 1 + m + 2 = 0$\iff$m = −3

Vậy m = −3 thì hai phương trình có nghiệm chung

Đáp án cần chọn là: B

Gọi nghiệm của phương trình (2) là x₀ (x₀$\ne$0)

thì nghiệm phương trình (1) là 2x₀

Thay x₀; 2x₀ lần lượt vào phương trình (2) và (1)

ta được

$\left\{\begin{array}{l}{\left(2x_0\right)}^2-13.2x_0+2m=0\\ {x_0}^2-4x_0+m=0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4{x_0}^2-26x_0+2m=0\\ {x_0}^2-4x_0+m=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4{x_0}^2-26x_0+2m=0\\ 4{x_0}^2-16x_0+4m=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff$10x₀ = −2m$\iff x_0=-\frac{m}{5}$

Do x₀$\ne$0 nên m$\ne$0

Thay$x_0=-\frac{m}{5}$vào phương trình (2)

ta được ${\left(-\frac{m}{5}\right)}^2-4.\left(-\frac{m}{5}\right)+m=0$

$\iff \frac{m^2}{25}+\frac{4m}{5}+m=0$

$\iff \frac{m^2}{25}+\frac{9m}{5}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-45\end{array}\right.$

Kết hợp m$\ne$0 ta được m = −45

Đáp án cần chọn là: A