Thay x = 1; y = 3 vào hệ ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2.1+b.3=a\\ b.1+a.3=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a-3b=2\\ 3a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a-9b=6\\ 3a+b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}10b=-1\\ 3a+b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{-1}{10}\\ a=\frac{17}{10}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=\frac{17}{10};b=\frac{-1}{10}$thì hệ phương trình có nghiệm  x = 1; y = 3$\Rightarrow$10(a + b) = 16

Đáp án: B

Thay x = −1; y = −2 vào hệ ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3a\left(-1\right)+\left(-2\right)=b\\ 2.a\left(-1\right)-2b\left(-2\right)=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3a-2=b\\ -2a+4b=3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=-2-3a\\ -2a+4\left(-2-3a\right)=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-2-3a\\ 14a=-11\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{11}{14}\\ b=-2-3.\left(-\frac{11}{14}\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{11}{14}\\ b=\frac{5}{14}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $a=\frac{-11}{14};b=\frac{5}{14}$thì hệ phương trình có nghiệm  x = −1; y = −2

$\Rightarrow$14(a – b) = $14.\left(-\frac{11}{14}-\frac{5}{14}\right)$ = −16

Đáp án: C

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 2x-3y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+4y=2m+6\\ 2x-3y=m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+2y=m+3\\ 7y=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5m+9}{7}\\ y=\frac{m+6}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) =\left(\frac{5m+9}{7};\frac{m+6}{7}\right)$  

Lại có x + y = −3 hay $\frac{5m+9}{7}+\frac{m+6}{7}=-3\iff$5m + 9 + m + 6 = −21

$\iff$6m = −36$\iff$m = −6

Vậy với m = −6 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x + y = −3

Đáp án: A

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x-y=2m+1\\ x+2y=-m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6x-2y=4m+2\\ x+2y=-m+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}7x=3m+4\\ x+2y=-m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+4}{7}\\ \frac{3m+4}{7}+2y=-m+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+4}{7}\\ 2y=\frac{-7m+14}{7}-\frac{3m+4}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3m+4}{7}\\ y=\frac{-5m+5}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) =\left(\frac{3m+4}{7};\frac{-5m+5}{7}\right)$  

Để x – y = 1 thì$\frac{3m+4}{7}-\frac{-5m+5}{7}=1\iff$8m – 1 = 7$\iff$8m = 8 $\iff$  m = 1

Vậy với m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x − y = 1

Đáp án: C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}2x+y=5m-1\\ x-2y=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=5m-1-2x\\ x-2\left(5m-1-2x\right)=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=5m-1-2x\\ 5x=10m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2m\\ y=m-1\end{array}\right.$

Thay vào $x^2 – 2y^2 = -2$ ta có

$$\begin{gathered} x^2–2y^2=-2\iff {\left(2m\right)}^2–2{(m-1)}^2 =-2 \\ \iff 2m^2+4m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$    

Vậy m $\in${−2; 0}

Đáp án: C

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+3y=\frac{7}{2}-m\\ 4x-y=5m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x+6y=7-2m\\ 4x-y=5m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}7y=7-7m\\ 4x-y=5m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=1-m\\ 4x-\left(1-m\right)=5m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=1-m\\ x=\frac{4m+1}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án: B

Thay m = 2 vào hệ ta được $\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 1) khi m = 2

Đáp án: D

Thay m = 1 vào hệ phương trình đã cho ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x+2y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y=4\\ x+2y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x=9\\ x+2y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (3; 1) khi m = 1

Đáp án: A

Từ (m – 1) x + y = 2 $\iff$ y = 2 - (m - 1)x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

mx + 2 – (m – 1) x = m + 1$\iff$x = m – 1 suy ra $y = 2 – {(m – 1)}^2$ với mọi m

Vậy hệ  phương trình luôn có nghiệm duy nhất $(x; y) = (m – 1; 2 – {(m – 1)}^2)$

$2x+y=2 (m–1)+2–{(m–1)}^2=-m^2+4m–1=3–{(m–2)}^2\le 3$ với mọi m

Đáp án: A

Từ phương trình (1): x – my = m$\iff$x = m + my thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

m (m + my) + y = 1

$\iff m^2+m^{2}y+y=1\iff (m^2+1)y=1–m^2\iff y=\frac{1-m^2}{1+m^2}$ 

(vì $1+m^2 >0; \forall m$) suy ra $x=m+m.\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{2m}{1+m^2}$với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{2m}{1+m^2};\frac{1-m^2}{1+m^2}\right)$  

$\Rightarrow x – y =\frac{2m}{1+m^2}-\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{m^2+2m-1}{1+m^2}$

Đáp án: B

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(m-2\right)x-3y=-5\\ x+my=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-2\right)\left(3-my\right)-3y=-5\\ x=3-my\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3m-m^{2}y-6+2my-3y=-5\\ x=3-my\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(m^2-2m+3\right)y=3m-1\left(1\right)\\ x=3-my\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có: $m^2–2m+3={(m–1)}^2+2>0 \forall m$ nên PT (1) có nghiệm duy nhất $\forall m$

Hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ (1) ta có: $y=\frac{3m-1}{m^2-2m+3}$thay vào (2) ta có $x=\frac{9-5m}{m^2-2m+3}$

Vậy $\left(x;y\right)=\left(\frac{9-5m}{m^2-2m+3};\frac{3m-1}{m^2-2m+3}\right)$

Đáp án: B

Ta có 

$\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m+1\\ 2x+my=1-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m-1\\ 2x+m\left(mx-2m-1\right)=1-m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m-1\\ 2x+m^{2}x-2m^2-m=1-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m^2+2\right)x=2m^2+1\left(1\right)\\ y=mx-2m-1\left(2\right)\end{array}\right.$

Ta có $m^2+2>0; \forall m$ nên PT (1) có nghiệm duy nhất $\forall m$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ (1) ta có: $x=\frac{2m^2+1}{m^2+2}$thay vào (2) ta có:

$y=m.\frac{2m^2+1}{m^2+2}-2m-1=\frac{-m^2-3m-2}{m^2+2}$  

Vậy $\left(x;y\right)=\left(\frac{2m^2+1}{m^2+2};\frac{-m^2-3m-2}{m^2+2}\right)$

Đáp án: D

Ta có $\left\{\begin{array}{l}3x+y=2m+9\\ x+y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+2\\ y=3-m\end{array}\right.$

$\Rightarrow A=xy+x–1=8–{(m–1)}^2$

 $A_{max} = 8$ khi m = 1

Đáp án: A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-m\left(2x-m-5\right)=3m-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m-1\right)x-2mx+m^2+5m=3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ -\left(m+1\right)x=-m^2-5m+3m-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\\ \left(m+1\right)x=m^2+2m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2x-m-5\left(1\right)\\ \left(m+1\right)x={\left(m+1\right)}^2\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay $m\ne -1$

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x=\frac{{\left(m+1\right)}^2}{m+1}=m+1$

Thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2 (m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với $m\ne -1$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét $S=x^2+y^2={(m+1)}^2+{(m–3)}^2=m^2+2m+1+m^2-6m+9$

$=2m^2–4m+10=2(m^2–2m+1)+8=2{(m–1)}^2+8$

Vì ${(m – 1)}^2 \ge 0; \forall m\Rightarrow 2{(m–1)}^2+8\ge 8;\forall m$

Hay $S\ge 8;\forall m$. Dấu “=” xảy ra khi m–1 = 0$\iff$m=1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Đáp án: A

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\left(1\right)\\ mx+y=2m\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (2)$\Rightarrow$y = 2m – mx thay vào (1) ta được:

x + m (2m – mx) = m + 1

$\iff 2m^2–m^{2}x+x=m+1\iff (1–m^2)x=-2m^2+m+1$

$\iff (m^2–1)x=2m^2–m–1 \left(3\right)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  (3) có nghiệm duy nhất khi

$m^2–1\ne 0\iff m\ne \pm 1(*)$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+1}{m+1}\\ y=\frac{m}{m+1}\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ y\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+1}{m+1}\ge 2\\ \frac{m}{m+1}\ge 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{m+1}\ge 0\\ \frac{-1}{m+1}\ge 0\end{array}\right. \\ \iff m+1<0\iff m<-1 \end{gathered}$$

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là m < −1

Đáp án: B

*Giải thích

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Kết nối tri thức

Giải Toán 9 Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét hệ 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=3\\ 4x+my=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\\ 4x+m\left(3-mx\right)=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\\ 4x+3m-m^{2}x=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\\ \left(4-m^2\right)x=6-3m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=3-mx\left(1\right)\\ \left(m^2-4\right)x=3\left(m-2\right)\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\iff$(2) có nghiệm duy nhất

$m^2–4\ne 0\iff m\ne \pm 2(*)$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{m+2}\\ y=3-\frac{3m}{m+2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{m+2}\\ y=\frac{6}{m+2}\end{array}\right.$

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x>0\\ y>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{3}{m+2}>0\\ \frac{6}{m+2}>1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m+2>0\\ \frac{4-m}{m+2}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>-2\\ 4-m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-2\\ m<4\end{array}\right.\iff -2<m<4 \end{gathered}$$

Kết hợp với (*) ta được giá trị m cần tìm là – 2 < m < 4; m$\ne$2

Đáp án: A

Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a = 0, hệ có dạng:$\left\{\begin{array}{l}2x=-4\\ -3y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu $a\ne 0$, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: $\frac{0}{2}\ne \frac{-3}{a}\iff \frac{-3}{a}\ne 0 luôn đúng vì a \ne 0$  

Do đó, với $a\ne 0$, hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

Đáp án: C

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+m\left(2m-mx\right)=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+2m^2-m^{2}x=m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x\left(m^2-1\right)=2m^2-m-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Với $m^2–1=0\iff m^2=1\iff m=\pm 1$

Nếu m = 1 ta được 0x = 0 (đúng với $\forall x$)$\Rightarrow$Hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = −1 ta được 0x = 2 (vô lí)$\Rightarrow$hệ phương trình vô nghiệm

Vậy m = 1 thì hệ đã cho vô số nghiệm.

Đáp án: A

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*)

Thế vào PT (2) ta được:

x + (a – 1) [(a + 1)x – (a + 1)] = 2$\iff x+(a^2–1)x–(a^2–1)=2$

$\iff a^{2}x=a^2+1 \left(3\right)$

Với $a\ne 0$, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} y=\left(a+1\right)\frac{a^2+1}{a^2}-\left(a+1\right) \\ =\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2} \\ =\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2} \end{gathered}$$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$  

$\Rightarrow x+y=\frac{a^2+1}{a^2}+\frac{a+1}{a^2}=\frac{a^2+a+2}{a^2}$

Đáp án: A

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx-y=m^2\\ 2x+my=-m^3+2m+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-m^2\\ 2x+m\left(mx-m^2\right)=-m^3+2m+2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-m^2\\ x\left(m^2+2\right)=2m+2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 2m+2}}{{\displaystyle m^2+2}}\\ y=m.\frac{{\displaystyle 2m+2}}{{\displaystyle m^2+2}}-m^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\displaystyle 2m+2}}{{\displaystyle m^2+2}}\\ y=\frac{{\displaystyle -m^4+2m}}{{\displaystyle m^2+2}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

(vì $m^2+2>0;\forall m$ )

Suy ra $x–y=\frac{m^4+2}{m^2+2}$  

Đáp án: C

Từ PT (1) ta có: y = (a + 1)x – (a + 1) (*) thế vào PT (2) ta được:

$x+(a–1)\left[\right(a+1)x–(a+1\left)\right]=2\iff x+(a^2–1)x–(a^2–1)=2$

$\iff a^{2}x=a^2+1 \left(3\right)$

Với a ≠ 0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x=\frac{a^2+1}{a^2}$. Thay vào (*) ta có:

$$\begin{gathered} y=(a+1)\frac{a^2+1}{a^2}-(a+1)=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)-a^2\left(a+1\right)}{a^2} \\ =\frac{a^3+a+a^2+1-a^3-a^2}{a^2}=\frac{a+1}{a^2} \end{gathered}$$  

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{a^2+1}{a^2};\frac{a+1}{a^2}\right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên:$\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ y\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{a^2+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\\ \frac{a+1}{a^2}\in \mathbb{Z}\end{array}\right.(a\in \mathrm{\mathbb{Z}})$ 

Điều kiện cần: $x=\frac{a^2+1}{a^2}=1+\frac{1}{a^2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\iff \frac{1}{a^2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ mà $a^2>0 \Rightarrow a^2=1$

$\iff a=\pm 1(TM a\ne 0)$

Điều kiện đủ:

a = −1$\Rightarrow$ y = 0  (nhận)

a = 1$\Rightarrow$ y = 2  (nhận) 

Vậy $a=\pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Đáp án: D

Đáp án đúng là : C

Lời giải

Ta có$\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ mx-y=m\end{array}\right.\Rightarrow$x + mx = 2 + m$\Rightarrow$x(m + 1) = m + 2

Nếu m = −1$\Rightarrow$0.x = 1 (vô lí)

Nếu m ≠ 1$\Rightarrow x=\frac{m+2}{m+1}=1+\frac{1}{m+1}$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất$\Rightarrow$x nguyên

$\Rightarrow m+1 =\pm 1\Rightarrow$ m = 0; m = −2

Với m = 0$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Với m = −2$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}\right.$(thỏa mãn)

*Phương pháp giải:

Rút y theo x và m

Chia trường hợp để xét

Tìm m rồi kết luận

*Lý thuyết:

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 1:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Xem thêm

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2\\ mx-y=m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-2y\\ m\left(2-2y\right)-y=m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-2y\\ \left(2m+1\right)y=m\end{array}\right.$

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $m\ne \frac{-1}{2}$

Suy ra $y=\frac{m}{2m+1}\Rightarrow x=2-2.\frac{m}{2m+1}\Rightarrow x=\frac{2m+2}{2m+1}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+2}{2m+1}\\ y=\frac{m}{2m+1}\end{array}\right.$

Để $\left\{\begin{array}{l}x>1\\ y>0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m+2}{2m+1}>1\\ \frac{m}{2m+1}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2m+1}>0\\ \frac{m}{2m+1}>0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2m+1>0\\ m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\ m>0\end{array}\right.\Rightarrow m>0 \end{gathered}$$

Kết hợp điều kiện $m\ne \frac{-1}{2}$ta có m > 0

Đáp án: A

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ 4x-m\left(mx-2m\right)=m+6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ x\left(m^2-4\right)=2m^2-m-6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m^2-4\ne 0\iff m\ne \left\{2;-2\right\}$

Khi đó $x=\frac{2m^2-m-6}{m^2-4}=\frac{\left(2m+3\right)\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}=\frac{2m+3}{m+2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow y=m.\frac{2m+3}{m+2}-2m=\frac{-m}{m+2} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+3}{m+2}\\ y=\frac{-m}{m+2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{m+2}\\ y=-1+\frac{2}{m+2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x=4-\frac{2}{m+2}\\ y=-1+\frac{2}{m+2}\end{array}\right.\Rightarrow 2x + y = 3 \end{gathered}$$

vậy hệ thức không phụ thuộc vào m là 2x + y = 3

Đáp án: D

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m\left(1-my\right)-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m-m^{2}y-y=-m\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ y\left(m^2+1\right)=2m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $m^2+1\ge 1>0\Rightarrow y=\frac{2m}{m^2+1}\Rightarrow x=1–my=1-\frac{2m^2}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1}$

Xét $x^2+y^2={\left(\frac{1-m^2}{m^2+1}\right)}^2+{\left(\frac{2m}{m^2+1}\right)}^2=\frac{m^4-2m^2+1+4m^2}{{\left(m^2+1\right)}^2}=\frac{m^4+2m^2+1}{{\left(m^2+1\right)}^2}=\frac{{\left(m^2+1\right)}^2}{{\left(m^2+1\right)}^2}=1$

Vậy $x^2 + y^2 = 1$ không phụ thuộc vào giá trị của m

Đáp án: D

Ta có $\left\{\begin{array}{l}mx-y=2m\\ 4x-my=m+6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ 4x-m\left(mx-2m\right)=m+6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=mx-2m\\ x\left(m^2-4\right)=2m^2-m-6\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi $m^2–4\ne 0\iff$m ≠ {−2; 2}

Khi đó $x=\frac{2m^2-m-6}{m^2-4}=\frac{\left(2m+3\right)\left(m-2\right)}{\left(m+2\right)\left(m-2\right)}=\frac{2m+3}{m+2}$

$\Rightarrow y=m.\frac{2m+3}{m+2}-2m=\frac{-m}{m+2}$

Thay $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2m+3}{m+2}\\ y=\frac{-m}{m+2}\end{array}\right.$vào phương trình 6x – 2y = 13 ta được

$6.\frac{2m+3}{m+2}-2.\frac{-m}{m+2}=13\iff \frac{14m+18}{m+2}=13$

$\iff$14m + 18 = 13m + 26

 m = 8 (TM)

Vậy m = 8 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

Từ hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+\left(m+1\right)y=1\\ 4x-y=-2\end{array}\right.$và 2x + 2y = 5 ta có hệ

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}4x-y=-2\\ 2x+2y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}8x-2y=-4\\ 2x+2y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}10x=1\\ 2x+2y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{10}\\ y=\frac{12}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay $x=\frac{1}{10}$và $y=\frac{12}{5}$vào phương trình x + (m + 1)y = 1 ta được:

$\frac{1}{10}+\left(m+1\right).\frac{12}{5}=1\iff$1 + 24 (m + 1) = 10$\iff$24m = −15$\iff m=-\frac{5}{8}$

Đáp án: A