Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Bài 3.4 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  và chứng minh rằng, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$  thuộc đường tròn phụ.

Lời giải:

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: $x^2+y^2=b^2.$

Có M(x₀; y₀) thuộc elip nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Xét điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$ , ta có:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{b}{a}{x}_0\right)}^2+y_0^2=\frac{b^2}{a^2}.x_0^2+y_0^2 \\ =b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)=b^2.1=b^2. \end{gathered}$$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.

Bài 3.5 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Với tâm sai khoảng 0,244, quỹ đạo elip của sao Diêm Vương "dẹt" hơn so với quỹ đạo của tám hành tinh trong hệ Mặt Trời (xem Em có biết? ở cuối bài). Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km. Tìm khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời (tiêu điểm của quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov).

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip, đơn vị trên các trục là kilômét.

Giả sử phương trình chính tắc của quỹ đạo elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (a > b > 0).

Theo đề bài, ta có:

– Nửa độ dài trục lớn của elip quỹ đạo là khoảng 590635.10⁶ km, suy ra a = 590635.10⁶.

– Elip có yâm sai khoảng 0,244 $\Rightarrow \frac{c}{a}=0,244$$\Rightarrow$ c = 0,244.a = 144114,94.10⁶.

Giả sử sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khoảng cách giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời là MF₁.

MF₁ = a +$\frac{c}{a}$ x, vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c

 590635.10⁶ – 144114,94.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 590635.10⁶ + 144114,94.10⁶

 46520,06.10⁶ ≤ MF₁ ≤ 734749,94.10⁶

Vậy khoảng cách gần nhất và khoảng cách xa nhất giữa sao Diêm Vương và tâm Mặt Trời lần lượt là 46520,06.10⁶ km và 734749,94.10⁶ km.

Bài 3.6 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Một phòng thì thầm có trần vòm elip với hai tiêu điểm ở độ cao 1,6 m (so với mặt sàn) và cách nhau 16 m. Đỉnh của mái vòm cao 7,6 m (H.3.9).

Hỏi âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau bao nhiêu giây đến được tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm thanh là 343,2 m/s và làm tròn đáp số tới 4 chữ số sau dấu phẩy.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của elip này là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (a > b > 0).

Dựa vào hình vẽ ta thấy: 2c = 16 $\Rightarrow$c = 8.

b = 7,6 – 1,6 = 6 $\Rightarrow$  a =$\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Âm thanh đi từ một tiêu điểm qua điểm M(x; y) trên trần vòm rồi đến tiêu điểm kia. Do đó quãng đường mà âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₁ = a + $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x, MF₂ = a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x.

 Quãng đường âm thanh đã đi là: MF₁ + MF₂ = a +$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x + a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x = 2a = 20 (m).

 Thời gian âm thanh đã đi là: $\frac{20}{343,2}$  ≈ 0,0583 (s).

Vậy âm thanh thì thầm từ một tiêu điểm thì sau khoảng 0,0583 giây sẽ đến được tiêu điểm kia.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 40, 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 5