Giải bài tập trang 40, 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 40, 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (H.3.1).

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

Lời giải:

a)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc elip nên $\frac{x_{{}_{A_1}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$$\Rightarrow x_{{}_{A_1}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₁ nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow x_{A_1}=-a$  A₁(–a; 0).

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc elip nên $\frac{x_{{}_{A_2}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1$$\Rightarrow x_{{}_{A_2}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow$  A₂(a; 0).

+) Vì B₁ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₁ có dạng $\left(0;y_{B_1}\right).$

Mà B₁ thuộc elip nên :

$$\begin{gathered} \frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{}_{B_1}}^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow y_{{}_{B_1}}^2=b^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_{B_1}=b\\ y_{B_1}=-b\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Ta thấy B₁ nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên $y_{B_1}>0\Rightarrow y_{B_1}=-b$B₁(0; –b).

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $\left(0;y_{B_2}\right).$

Mà B₂ thuộc elip nên:

$$\begin{gathered} \frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{}_{B_2}}^2}{b^2}=1 \\ \Rightarrow y_{{}_{B_2}}^2=b^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_{B_2}=b\\ y_{B_2}=-b\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên  $y_{B_2}>0\Rightarrow y_{B_2}=b$ B₂(0; b).

b)

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$$=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}$$=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$  nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) M(x₀; y₀) thuộc elip nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

OM² = $x_0^2+y_0^2=a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

mà $b^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<$$a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$$<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+a^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

hay $b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)<$$a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$$<a^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)$

hay $b^2<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2$  nên $b^2<O{M}^2<a^2.$

Luyện tập 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.

– Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b² = a² – c² = 5² – 3² = 16.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Luyện tập 2 trang 41 Chuyên đề Toán 10: (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số  (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).

a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$ .

Lời giải:

a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N­). Khi đó $\overrightarrow{HN}=\left(x_N-x_0;y_N-0\right)$$=\left(x_N-x_0;y_N\right).$

Vì HN = kHM nên $\overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}.$  Mà $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_0;y_0-0\right)=\left(0;y_0\right)$  nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_N-x_0=k.0\\ y_N=k.y_0\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_N=x_0\\ y_N=k{y}_0\end{array}\right..$

b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_0^2+y_0^2=a^2.$

Do đó

 $$\begin{gathered} \frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(k{y}_0\right)}^2}{{\left(ka\right)}^2} \\ =\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{a^2} \\ =\frac{a^2}{a^2}=1. \end{gathered}$$

Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$ .

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5