Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 5 - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).

a) Tính MF₁² – MF₂².

b) Khi điểm M thuộc elip (MF₁ + MF₂ = 2a), tính MF₁ – MF₂, MF₁, MF₂.

Lời giải:

a) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

b) MF₁² – MF₂² = 4cx  (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx  2a(MF₁ – MF₂) = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ – MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$  =$\frac{2c}{a}$ x.

+) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và $M{F}_1-M{F}_2=\frac{2c}{a}x$  ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = 2a +$\frac{2c}{a}x\Rightarrow$2MF₁ = 2a + $\frac{2c}{a}x\Rightarrow$MF₁ = a + x.

+) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và $M{F}_1-M{F}_2=\frac{2c}{a}x$  ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = 2a –$\frac{2c}{a}x\Rightarrow$ 2MF₂ = 2a –  $\frac{2c}{a}x\Rightarrow$MF₂ = a – x.

Luyện tập 3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$ , điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Có a² = 36, suy ra a = 6.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=$$\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4.$

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$ x = 6 + x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6

 $$\begin{gathered} \Rightarrow -\frac{2}{3}.6\le \frac{2}{3}x\le \frac{2}{3}.6 \\ \Rightarrow -4\le \frac{2}{3}x\le 4 \\ \Rightarrow 2\le 6+\frac{2}{3}x\le 10. \end{gathered}$$

Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Với thông tin được đưa ra trong tình huống mở đầu, lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo của Trái Đất, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với 10⁶ km trên thực tế.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  (a > b > 0).

Giả sử Trái Đất có toạ độ là điểm M(x; y) và tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁.

Khi đó, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời lần lượt là a + c và a – c.

Theo đề bài ta có: a + c = 152 và a – c = 147.

Suy ra a = 149,5 và c = 2,5.

Suy ra b² = a² – c² = 149,5² – 2,5² = 22344.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{22350,25}+\frac{y^2}{22344}=1.$

HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c=\sqrt{a^2-b^2}$  (H.3.6). Xét các đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a^2}{c}$  và ${\Delta }_2:x=\frac{a^2}{c}$ . Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$  và $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}$  theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng:  Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left|x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left|x+\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₁ = a + x > 0 nên MF₁ = |a + $\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left|a+\frac{c}{a}x\right|}{\left|x+\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left|\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: $x+0y-\frac{a^2}{c}=0.$  Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có: $d\left(M,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}$$=\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₂ = a – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ x > 0 nên MF₂ = |a –$\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-\frac{c}{a}x\right|}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}$$=\frac{\left|\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 40, 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 5

Giải bài tập trang 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 5