Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?

Đáp án đúng là: C

Lời giải

⦁ Phương trình chính tắc của (E) có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (với a > b > 0).

Vì phương trình ở phương án B không có dạng trên nên ta loại phương án B.

⦁ Vì a > b nên a² > b².

Phương trình ở phương án A có a² = 4 < b² = 25.

Suy ra phương trình ở phương án A không phải là phương trình chính tắc của (E).

⦁ Phương trình ở phương án C có a² = 49 > b² = 36.

Suy ra phương trình ở phương án C là phương trình chính tắc của (E).

⦁ Phương trình ở phương án D có a² = b² = 49.

Suy ra phương trình ở phương án D không phải là phương trình chính tắc của (E).

Vậy ta chọn phương án C.

*Phương pháp giải:

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

*Lý thuyết:

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0)

+ Bốn đỉnh: $A_1$(-a; 0), $A_2$(a; 0), $B_1$ (0; -b) và $B_2$(0; b)

+ Độ dài trục lớn: ${\text{A}}_1{\text{A}}_2=2a$

+ Độ dài trục nhỏ: $B_1{B}_2=2b$

+ Tiêu cự: $F_1{F}_2=2c$

+ Tâm sai của (E): $e=\frac{c}{a}<1$

+ $b^2=a^2-c^2$

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn $F_1{F}_2$. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $F_{1}M+F_{2}M=2a$.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm $F_1$ và $F_2$. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi $F_{1}M+F_{2}M=2a$. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho $F_1$(-c; 0) và $F_2$(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) $\in \left(E\right)\iff \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. (1) với $b^2=a^2-c^2$

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

Xem thêm

Công thức phương trình chính tắc của Elip, các dạng bài tập và cách giải 

Trắc nghiệm Phương trình elip có đáp án – Toán lớp 10