Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Đáp án đúng là: A

*Lời giải:

Công đoạn 1, chọn giáo viên

Mỗi cách chọn 2 giáo viên trong 5 giáo viên là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy số cách chọn ra 2 giáo viên là: $C_5^2$ = 10.

Công đoạn 2, chọn học sinh

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy số cách chọn ra 3 học sinh là: $C_6^3$ = 20

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân số cách chọn một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh là: 10.20 = 200 (cách)

*Phương pháp giải:

- áp dụng tổ hợp để tính:

+ do chọn ra ngẫu nhiên 2 giáo viên trong 5 giáo viên

+ chọn ra ngẫu nhiên 3 học sinh trong 6 học sinh

- sử dụng quy tắc nhân để tìm ra số cách 

*Lý thuyến cần nắm và ứng dụng về hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp:

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pn, được tính bằng công thức

Pn = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : Pn = n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P3 = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy Pn = $A_n^n$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức 

Giải Toán 10 Bài 24 (Kết nối tri thức): Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10