Đáp án đúng là: A

*Lời giải:

Công đoạn 1, chọn giáo viên

Mỗi cách chọn 2 giáo viên trong 5 giáo viên là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy số cách chọn ra 2 giáo viên là: $C_5^2$ = 10.

Công đoạn 2, chọn học sinh

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy số cách chọn ra 3 học sinh là: $C_6^3$ = 20

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân số cách chọn một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh là: 10.20 = 200 (cách)

*Phương pháp giải:

- áp dụng tổ hợp để tính:

+ do chọn ra ngẫu nhiên 2 giáo viên trong 5 giáo viên

+ chọn ra ngẫu nhiên 3 học sinh trong 6 học sinh

- sử dụng quy tắc nhân để tìm ra số cách 

*Lý thuyến cần nắm và ứng dụng về hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp:

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pn, được tính bằng công thức

Pn = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : Pn = n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P3 = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy Pn = $A_n^n$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức 

Giải Toán 10 Bài 24 (Kết nối tri thức): Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có 2 điểm A, B phân biệt thì có một đoạn thẳng AB (đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA là một)

Vì cứ chọn 2 điểm bất kỳ trong 10 điểm ta được một đoạn thẳng nên mỗi cách chọn ra 2 điểm trong 10 điểm là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là $C_{10}^2$ = 45 (đoạn thẳng)

Đáp án đúng là: C        

Lòi giải               

Vì xếp 3 bạn nam luôn ngồi cạnh nhau nên ta coi 3 bạn nam là một vị trí xếp. Vậy ta còn 4 vị trí để xếp. Mỗi cách xếp 4 vị trí này là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy số cách xếp 4 vị trí là: 4! = 24 (cách)

Ngoài 4 vị trí xếp trên trong nhóm 3 bạn nam ta cũng xếp 3 bạn vào 3 vị trí số cách xếp này là 3! = 12 (cách)

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi thành một hàng ngang thoả mãn 3 bạn nam ngồi cạnh nhau là: 12.24 = 288 (cách)

*Phương pháp giải:

• Gộp 3 bạn nam thành 1 phần tử lớn tìm số cách xếp cho 4 vị trí
• số cách xếp 3 bạn nam vào 3 vị tí
• áp dụng quy tắc nhân

*Lý thuyết:

• 1. Định nghĩa

  Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ∈ ℕ^*).

  Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

  Ví dụ: Từ 3 chữ số 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

  Hướng dẫn giải

  Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

  Ta có các số sau : 357 ; 375 ; 537 ; 573 ; 735 ; 753.

  Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 3, 5, 7.

  2. Số các hoán vị

  Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử. Ta có P_n = n . (n – 1) … 2.1

  Quy ước : Tích 1.2…n được viết là n! (đọc là n giai thừa), tức là n! = 1 . 2 … n.

  Như vậy P_n = n!.

  Ví dụ: Có ba bạn học sinh Nam, Long, Vinh. Giáo viên muốn xếp ba bạn này vào 3 vị trí chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.

  Hướng dẫn giải

  Xếp ba bạn Nam, Long, Vinh vào 3 vị trí chỗ ngồi là một hoán vị của 3 bạn.

  Ta có P₃ = 3! = 1.2.3 = 6.

  Vậy có 6 cách xếp 3 bạn Nam, Long, Vinh vào ba vị trí chỗ ngồi.

• 2. Quy tắc nhân

  – Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m. n cách.

Xem thêm

Lý thuyết Hoán vị. Chỉnh hợp – Toán lớp 10 Cánh diều 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=4n+6$

$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{\left(n+1\right)!}{2!\left(n-1\right)!}=4n+6$

$\iff$ 2(n – 1)n – n(n + 1) = 8n + 12

$\iff$ n² – 11n – 12 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=12\\ n=-1\end{array}\right.$ 

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn điều kiện đề bài.