Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần lập $\overline{abcd}$, a ≠ 0.

Công đoạn 1, chọn số d có 3 cách chọn (Vì $\overline{abcd}$ là số lẻ nên d chỉ có thể chọn một trong 3 số 1; 3; 5).

Công đoạn 2, chọn số a có 5 cách chọn (Vì a ≠ 0; a ≠ d nên a không được chọn số 0 và số d đã chọn).

Công đoạn 3, chọn số b có 5 cách chọn (Vì b ≠ a; b ≠ d nên b không được chọn lại số a, d đã chọn).

Công đoạn 4, chọn số c có 4 cách chọn (Vì c ≠ a; c ≠ b; c ≠ d nên c không được chọn lại số a, b, d đã chọn).

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân ta có số các số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là: 3.5.5.4 = 300.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần lập $\overline{abcde}$, a ≠ 0; a, b, c, d, e ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Công đoạn 1, chọn số e có 3 cách chọn (Vì $\overline{abcde}$ là số lẻ và không chia hết cho 5 nên e chỉ có thể chọn một trong 3 số 1; 3; 7).

Công đoạn 2, chọn số a có 7 cách chọn (Vì a ≠ 0;a ≠ e nên a không được chọn số e đã chọn).

Công đoạn 3, chọn số b có 6 cách chọn (Vì b ≠ a; b ≠ e nên b không được chọn lại số a, e đã chọn).

Công đoạn 4, chọn số c có 5 cách chọn (Vì c ≠ a; c ≠ b; c ≠ e nên c không được chọn lại số a, b, e đã chọn).

Công đoạn 5, chọn số d có 4 cách chọn (Vì d ≠ a; d ≠ b; d ≠ c; d ≠ e nên d không được chọn lại số a, b, c, e đã chọn).

Vậy áp dụng quy tắc nhân ta có số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5 là: 3.7.6.5.4 = 2520 (số).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta chọn các quả cầu theo trình tự sau:

Công đoạn 1. Chọn quả cầu xanh: 7 cách chọn (Vì cầu xanh được chọn tuỳ ý từ 1 đến 7).

Công đoạn 2, Chọn quả cầu vàng: có 7 cách chọn (Vì số đánh trên cầu vàng không được chọn lại số đã đánh trên quả cầu xanh đã chọn).

Công đoạn 3, Chọn quả cầu đỏ: có 8 cách chọn (Vì số trên quả cầu đỏ chọn không được chọn lại các số mà quả cầu xanh và quả cầu vàng đã chọn).

Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu khác màu và khác số là 7.7.8 = 392 cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì thi đấu cầu lông đôi nam, nữ nên thầy giáo phải chọn 1 nam và 1 nữ

Công đoạn 1, chọn học sinh nam có 20 cách

Công đoạn 2, chọn học sinh nữ có 25 cách

Vậy áp dụng quy tắc nhân có 20.25 = 500 (cách chọn)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì chọn ra một học sinh bất kỳ nên thầy giáo có thể chọn học sinh nam hoặc học sinh nữ.

Công đoạn 1, chọn học sinh nữ có 20 cách

Công đoạn 2, chọn học sinh nam có 15 cách

Tổng kết, áp dụng quy tắc cộng có 20 + 15 = 35 (cách chọn)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì chọn ngẫu nhiên 4 viên bi có đủ ba màu và có 2 bi xanh nên số bi phải chọn là: 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng.

Công đoạn 1, chọn 2 viên bi xanh trong 6 viên bi xanh có $C_6^2$ = 15 (cách chọn)

Công đoạn 2, chọn 1 viên bi đỏ trong 7 viên bi đỏ có 7 (cách chọn)

Công đoạn 3, chọn 1 viên bi trắng trong 5 viên bi trắng có 5 (cách chọn)

Vậy áp dụng quy tắc nhân số cách chọn ra 4 viên bi có đủ ba màu và có 2 bi xanh là: 15.7.5 = 525 (cách chọn).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì chọn ra 3 học sinh có cả nam và nữ nên xảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp , chọn  nam và 2 nữ

Công đoạn 1, chọn 1 nam trong 4 nam có 4 cách chọn;

Công đoạn 2, chọn 2 nữ trong 2 nữ có $C_2^2$ = 1 cách chọn;

Áp dụng quy tắc nhân trường hợp 1 có 4.1 = 4 cách chọn.

Trường hợp 2, chọn 2 nam và nữ có:

Công đoạn 1, chọn 2 nam trong 4 nam có  $C_4^2$ = 6 cách chọn;

Công đoạn 2, chọn 1 nữ trong 2 nữ có 2 cách chọn;

Áp dụng quy tắc nhân trường hợp 2 có 6.2 = 12 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng cả hai trường hợp có 4 + 12 = 16 (cách chọn).

Vậy có 16 cách chọn để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì các số tăng dần hoặc giảm dần nên số nguyên cần lập có 3 chữ số đôi một khác nhau. Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1, Các chữ số tăng dần từ trái qua phải.

Khi đó 3 chữ số được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: $C_9^3$ = 84 (số).

Trường hợp 2, Các chữ số giảm dần từ trái qua phải.

Khi đó 3 chữ số được chọn từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Với một cách chọn 3 chữ số từ tập này ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần. Do đó số các số lập được trong trường hợp này là: $C_{10}^3$= 120 (số)

Tổng hợp, áp dụng quy tắc cộng số các số có thể lập là: 84 + 120 = 204 (số).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng

Vì khai triển có 15 số hạng nên ta có n + 2 = 14. Vậy n = 12

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì lập số có 8 chữ số từ 2 số 1 và 8 sao cho không có 2 chữ số 1 đứng cạnh nhau nên ta có các trường hợp sau

+) Trường hợp 1. Có 8 chữ số 8 và không có chữ số 1. Do đó có 1 số.

+) Trường hợp 2. Có 1 chữ số 1 và 7 chữ số 8

Vì có 7 chữ số 8 nên tạo ra 8 khoảng trống nên có 8 cách xếp số 1. Do đó có 8 số.

+) Trường hợp 3. Có 2 chữ số 1 và 6 chữ số 8.

Xếp 6 số 8 ta có 1 cách. Từ 6 số 8 ta có có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1 nên ta có: $C_7^2$ = 21 số.

+) Trường hợp 4. Có 3 chữ số 1 và 5 chữ số 8.

Tương tự trường hợp 3 từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1 nên ta có: $C_6^3$  = 20 số.

+) Trường hợp 5, Có 4 chữ số 1 và 4 chữ số 8.

Từ 4 chữ số 8 ta có 5 chỗ trống để xếp 4 chữ số 1 nên ta có: $C_5^4$ = 5 số.

Các trường hợp khác chắc chắn sẽ có hai chữ số 1 đứng cạnh nhau.

Tổng kết áp dụng quy tắc cộng ta có số các số có thể lập là : 1 + 8 + 21 + 20 + 5 = 55 số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Việc bạn An mua một cây bút mực và một cây bút chì được chia làm hai công đoạn như sau:

Công đoạn 1, chọn cây bút mực: có 8 cách;

Công đoạn 2, chọn cây bút chì: có 8 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách mua một cây bút mực và một cây bút chì là: 8.8 = 64 (cách ).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để bạn Dũng chọn một quyển sách để đọc vào cuối tuần có hai phương án sau:

Phương án 1. Quyển sách được chọn là truyện tranh, có 8 cách chọn.

Phương án 2. Quyển sách được chọn là tiểu thuyết, có 7 cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng, số cách bạn Dũng chọn một quyển sách để đọc vào cuối tuần là 8 + 7 = 15 (cách).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn lần lượt 3 trong 5 màu để tô 3 nước khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn là $A_5^3$ = 60 (cách).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{abcde}$, a ≠ 0; a, b, c ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Công đoạn 1. Chọn số a có 1 cách chọn ( vì chữ số bắt đầu bằng 3 nên a chỉ có 1 cách chọn là số 3).

Công đoạn 2. Chọn số b có 7 cách chọn (vì b chọn tuỳ ý nên b có thể chọn một trong 7 số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7).

Công đoạn 3. Chọn số c có 7 cách chọn (vì c chọn tuỳ ý nên c có thể chọn một trong 7 số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7).

Công đoạn 4. Chọn chữ số d có 7 cách chọn (vì d chọn tuỳ ý nên d có thể chọn một trong 7 số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7).

Công đoạn 5. Chọn chữ số e có 7 cách chọn (vì e chọn tuỳ ý nên e có thể chọn một trong 7 số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7).

Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là: 1.7.7.7.7 = 2401 (số).

Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Công đoạn 1, chọn giáo viên

Mỗi cách chọn 2 giáo viên trong 5 giáo viên là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy số cách chọn ra 2 giáo viên là: $C_5^2$ = 10.

Công đoạn 2, chọn học sinh

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy số cách chọn ra 3 học sinh là: $C_6^3$ = 20

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân số cách chọn một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh là: 10.20 = 200 (cách)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách xếp 5 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 người đó. Vậy số cách xếp 5 người thành một hàng dọc là: 5! = 120.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{abcde}$, a ≠ 0

Công đoạn 1, chọn số e có 1 cách chọn (vì số $\overline{abcde}$ chia hết cho 10 nên e chỉ có thể chọn là số 0)

Công đoạn 2, chọn số a có 9 cách chọn (vì a ≠ 0 nên a chỉ được chọn một trong 9 số 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Công đoạn 3, chọn số b có 10 cách chọn (vì b chọn tuỳ ý nên b có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Công đoạn 4, chọn số c có 10 cách chọn (vì c chọn tuỳ ý nên c có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Công đoạn 5, chọn số d có 10 cách chọn (vì d chọn tuỳ ý nên d có thể chọn 1 trong 10 số 0; 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

Tổng kết, theo quy tắc nhân ta có Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 1.9.10.10.10 = 9000 (số).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn ra 4 học sinh trong 15 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy số cách chọn ra 4 học sinh là: $C_{15}^4$ = 1365 (cách).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có số cách xếp sách văn là 5! cách xếp

Số cách xếp sách Toán là 7! cách xếp

Trường hợp 1, sách Văn đứng trước sách Toán ta có số cách xếp là 5!.7! cách xếp

Trường hợp 2, sách Toán đứng trước sách Văn ta có số cách xếp là 7!.5! cách xếp

Tổng kết, áp dụng quy tắc cộng ta có số cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài sao cho sách Văn phải xếp kề nhau và sách Toán xếp kề nhau là 5!.7! + 7!.5! = 2.5!.7!

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

(2x + y)⁵ = $C_5^0$(2x)⁵(y)⁰ +  $C_5^1$(2x)⁴(y)¹ + $C_5^2$(2x)³(y)² + $C_5^3$(2x)²(y)³ + $C_5^4$(2x)(y)⁴ + $C_5^5$(2x)⁰(y)⁵ = 32x⁵ + 80x⁴y + 80x³y² + 40x²y³ + 10xy⁴ + y⁵ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 3x, b = - y vào trong công thức ta có

$C_7^k$(3x)^{7 – k} .(- y)^k = (- 1)^k$C_7^k$(3x)^{7 – k} .(y)^k

Số hạng cần tìm chứa x⁴y³ nên ta có x^{7 – k}y^k = x⁴y³

Vậy k = 3 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (- 1)³$C_7^3$(3)^{7 – 3}x⁴ y³ = - 2835x⁴ y³

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 2x, b = - 1 vào trong công thức ta có

$C_{10}^k$(2x)^{10 – k} .(- 1)^k = (-1)^k(2)^10-k$C_{10}^k$(x)^{10 – k}

Số hạng cần tìm chứa x⁸ nên ta có 10 – k = 8

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (- 1)²(2)⁸$C_{10}^2$ = 11520.