Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình x² + 3mx² + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x \( \in \) ℝ.

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + 3mx² + 4mx + 4 ≥ 0

\( \Leftrightarrow \) (1 + 3m)x² + 4mx + 4 ≥ 0

Với 1 + 3m = 0 thì m = \( - \frac{1}{3}\) thì bất phương trình trở thành \( - \frac{4}{3}\)x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Vậy m = \( - \frac{1}{3}\) không thỏa mãn.

Với 1 + 3m ≠ 0 thì m ≠ \( - \frac{1}{3}\)

Để bất phương trình (1 + 3m)x² + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x \( \in \) ℝ thì

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 3m > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{1}{3}\\4{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right.\)

Xét f(m) = 4m² – 12m – 4 có ∆ = 208 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = \(\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\) ; x = \(\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\) và a = 4 > 0

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có để f(m) ≤ 0 thì \(\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\)≤ m ≤ \(\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\)

Kết hợp với điều kiện của m để (1 + 3m)x² + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x \( \in \) ℝ thì \(\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\)≤ m ≤ \(\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để bất phương trình (1 + 3m)x² + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x \( \in \) ℝ.