Đáp án đúng là: D

Xét f(x) =  x² – 4 có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = –2; x = 2 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có f(x) > với mọi x \( \in \) (- ∞; - 2) và (2; + ∞); f(x) < 0 khi x \[ \in \](– 2; 2)

Vậy khẳng định sai là D.

Xét f(x) = x² + 2x – 3 có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 1 ; x = – 3 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có f(x) > với mọi x \( \in \) (- ∞; - 3) ∪ (1; + ∞); f(x) < 0 khi x \[ \in \](– 3; 1).

Vậy f(x) nhận giá trị dương với mọi x \( \in \) (- ∞; - 3) ∪ (1; + ∞).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta có

2x – 3 = (x – 3)²

\( \Rightarrow \)2x – 3 = x² – 6x + 9

\( \Rightarrow \) x² – 8x + 12 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = 6

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình, ta thấy x = 6 thoả mãn

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình ta có

x² – 3x = 2x – 4

\( \Rightarrow \) x² – 5x + 4 = 0

\( \Rightarrow \) x = 1 hoặc x = 4

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình, ta thấy x = 4 thoả mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

Đáp án đúng là: A

Trường hợp 1. m = 0. Khi đó f(x) = – 2x – 1 ≤ 0 \[ \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}\]

Vậy m = 0 không thỏa mãn f(x) ≤ 0 với \[\forall x \in \mathbb{R}\]

Trường hợp 2. m ≠ 0.

Khi đó: f(x) = mx² – 2x – 1 < 0 với \[\forall x \in \mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = 1 + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - 1\]

Vậy m ≤ – 1 thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là: C

\[{x^2} - 2x + 3\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = 7 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 + 3\sqrt {{x^2} - 2x - 3} - 4 = 0\]

Đặt \[\sqrt {{x^2} - 2x - 3} = t(t \ge 0)\] ta có phương trình t² + 3t – 4 =0\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 4\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện của t ta có t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 \[ \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 5 \\x = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\]

Thay lần lượt các nghiệm vào phương trình ta có \[x = 1 + \sqrt 5 ;x = 1 - \sqrt 5 \] đều thỏa mãn

Vậy tích các nghiệm của phương trình S = – 4.

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta có

x – 2 + x + 3 + 2\(\sqrt {(x - 2)(x + 3)} \) = 25

\( \Rightarrow \) \(\sqrt {{x^2} + x - 6} \) = 12 – x(1)

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có

x² + x – 6 = (12 – x)²

\( \Rightarrow \) x² + x – 6 = x² – 24x + 144

\( \Rightarrow \) 25x – 150 = 0

\( \Rightarrow \) x = 6

Thay nghiệm trên vào phương trình ta thấy x = 6 thoả mãn

Vậy nghiệm của phương trình thuộc khoảng (3; 7)

Đáp án đúng là: A

Xét f(x) = 2x² – 7x – 15 có ∆ = 169 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = 5; x = \( - \frac{3}{2}\) và a = 2 > 0

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: B

Ta có (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x \( \in \) ℝ\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\Delta ^/} < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2 > 0\\ - {m^2} - 4m < 0\end{array} \right.\]

Ta có m² + 2 > 0 với mọi m nên để (m² + 2)x² – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x \( \in \) ℝ thì – m² – 4m < 0

Xét f(m) = – m² – 4m có ∆ = 16 > 0, hai nghiệm phân biệt là m = 0; m = – 4 và a = – 1 < 0

Ta có bảng xét dấu

Vậy để f(m) < 0 khi m < – 4 hoặc m > 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + 3mx² + 4mx + 4 ≥ 0

\( \Leftrightarrow \) (1 + 3m)x² + 4mx + 4 ≥ 0

Với 1 + 3m = 0 thì m = \( - \frac{1}{3}\) thì bất phương trình trở thành \( - \frac{4}{3}\)x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. Vậy m = \( - \frac{1}{3}\) không thỏa mãn.

Với 1 + 3m ≠ 0 thì m ≠ \( - \frac{1}{3}\)

Để bất phương trình (1 + 3m)x² + 4mx + 4 ≥ 0 với mọi x \( \in \) ℝ thì

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 3m > 0\\\Delta ' = 4{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{1}{3}\\4{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right.\)

Xét f(m) = 4m² – 12m – 4 có ∆ = 208 > 0, hai nghiệm phân biệt là x = \(\frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\) ; x = \(\frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\) và a = 4 > 0

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: C

Để bất phương trình x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 có nghiệm với mọi x \( \in \) ℝ thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\{(m - 2)^2} - 2m + 1 < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\{m^2} - 6m + 5 < 0\end{array} \right.\)

Xét f(m) = m² – 6m + 5 có ∆ = 16 > 0 hai nghiệm phân biệt là m = 1 ; m = 5 và a = 1 > 0

Ta có bảng xét dấu

Suy ra để f(m) < 0 thì 1 < m < 5.

Vậy với 1 < m < 5 thì bất phương trình x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 có nghiệm với mọi x \( \in \) ℝ.

Đáp án đúng là: C

Ta có 4x² – 12x + 5\(\sqrt {4{x^2} - 12x} \) = 0

Đặt \(\sqrt {4{x^2} - 12x} \)= t (t ≥ 0)

Phương trình (1) trở thành t² + 5t = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 5\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện t = 0 thoả mãn

Với t = 0 ta có \(\sqrt {4{x^2} - 12x} \)= 0

\( \Rightarrow \) 4x² – 12x = 0

\( \Rightarrow \) x = 0 hoặc x = 3

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 0 và x = 3 thoả mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + 2\(\sqrt {{x^2} - 3x + 11} \) = 3x + 4 \( \Leftrightarrow \) x² – 3x + 11 + 2\(\sqrt {{x^2} - 3x + 11} \) – 15 = 0

Đặt \(\sqrt {{x^2} - 3x + 11} \) = t (t ≥ 0)

Phương trình trở thành t² + 2t – 15 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 5\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn

Với t = 3 ta có \(\sqrt {{x^2} - 3x + 11} \) = 3

\( \Rightarrow \) x² – 3x + 11 = 9

\( \Rightarrow \) x² – 3x + 2 = 0

\( \Rightarrow \) x = 2 hoặc x = 1

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 1 và x = 2 thoả mãn

Tích các nghiệm của phương trình là 1.2 = 2

Đáp án đúng là: C

Đặt \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} = t\) (t > 0) \( \Leftrightarrow \) x + 3 + 6 – x + \(2\sqrt {(x + 3)(6 - x)} \) = t²

Ta có \(\sqrt {(x + 3)(6 - x)} = \frac{{{t^2} - 9}}{2}\)

Phương trình (*) trở thành t = 3 + \(\frac{{{t^2} - 9}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \) t² – 2t – 3 = 0

\( \Leftrightarrow \) t = – 1 hặc t = 3

Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn

Với t = 3 ta có \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} = 3\)

\( \Rightarrow \) x + 3 + 6 – x + \(2\sqrt {(x + 3)(6 - x)} \) = 9

\( \Rightarrow \)\(\sqrt {(x + 3)(6 - x)} \)= 0

\( \Rightarrow \) – x² + 3x + 18 = 0

\( \Rightarrow \)x = 6 hoặc x = – 3

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình, ta thấy x = 6 và x = – 3 thoả mãn

Tổng các nghiệm của phương trình là 6 + (– 3) = 3.

Đáp án đúng là: C

\(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = 4x - 9 + 2\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \)(*)

Đặt \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = t(t > 0)\)

\( \Leftrightarrow \) 3x – 2 + x – 1 + 2\(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \) = t²

\( \Leftrightarrow \) 4x – 3 + 2\(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \) = t²

\( \Leftrightarrow \) 4x – 9 + 2\(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \)= t² – 6

Phương trình (*) trở thành t = t² – 6

\( \Rightarrow \) t² – t – 6 = 0

\( \Rightarrow \) t = 3 hoặc t = – 2.

Kết hợp với điều kiện t = 3 thoả mãn

Với t = 3 ta có \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x - 1} = 3\)

\( \Rightarrow \) 4x – 3 + 2\(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \)= 9

\( \Rightarrow \) \(\sqrt {3{x^2} - 5x + 2} \)= – 2x + 6

\( \Rightarrow \) 3x² – 5x + 2 = (6 – 2x)²

\( \Rightarrow \) 3x² – 5x + 2 = 4x² – 24x + 36

\( \Rightarrow \) x² – 19x + 34 = 0

\( \Rightarrow \) x₁ = 17 hoặc x₂ = 2

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình (*), ta thấy x₂ = 2 thoả mãn

Giá trị của biểu thức A = 2² – 3.2 + 15 = 13.