Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}$

Dựng hình bình hành CAEH.

Do tam giác ABC đều nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, AH vuông góc với BC $\Rightarrow \widehat{AHB}=90°$.

Mà AE // CH (do CAEH là hình bình hành)

Do đó, AH vuông góc với AE $\Rightarrow \widehat{HAE}=90°$.

Vậy AEBH là hình chữ nhật.

Ta có: CH = BH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác CHA vuông tại H

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

AC² = AH² + CH²  ⇔ AH² = AC² – CH²   = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$ ⇒ $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

⇒ $EB=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (do AEBH là hình chữ nhật)

Xét tam giác CBE vuông tại B

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

CE² = BC² + BE² = $a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{7}{4}{a}^2$ ⇒ $CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Theo quy tắc hình bình hành:  $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CE}$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|=\left|\overrightarrow{CE}\right|=CE=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.