Câu hỏi:
21/07/2024 149
Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)
Do đó: sin4 α − cos4 α = sin4 α – (1 – 2sin2 α + sin4 α) = 2 sin2 α − 1.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có sin4 α − sin4 α = (sin2 α + cos2 α)( sin2 α − cos2 α)
= 1. [sin2 α – (1 − sin2 α)] = 2 sin2 α − 1.
Vậy sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1
⇔ sin4 α − 2 sin2 α + 1 − cos4 α = 0
⇔ (1 − sin2 α)2 − cos4 α = 0
⇔ cos4 α − cos4 α = 0 (luôn đúng).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)
Do đó: sin4 α − cos4 α = sin4 α – (1 – 2sin2 α + sin4 α) = 2 sin2 α − 1.
Vậy ta được điều phải chứng minh.
Cách 2. Ta có sin4 α − sin4 α = (sin2 α + cos2 α)( sin2 α − cos2 α)
= 1. [sin2 α – (1 − sin2 α)] = 2 sin2 α − 1.
Vậy sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương
sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1
⇔ sin4 α − 2 sin2 α + 1 − cos4 α = 0
⇔ (1 − sin2 α)2 − cos4 α = 0
⇔ cos4 α − cos4 α = 0 (luôn đúng).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Biểu thức \(\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x\) bằng biểu thức nào sau đây?
Câu 3:
Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?
Câu 7:
Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?
Câu 8:
Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Giá trị của biểu thức (sin2 x + cos2 x)2 + (sin2 x − cos2 x)2
Câu 10:
Cho 0° ≤ x ≤ 180°. Tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức dưới đây?
