Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25

Giải Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức Bài 6: Phép vị tự

Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25.

a) Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

b) Tìm tâm I' và bán kính R' của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2.

c) Viết phương trình của (C').

Lời giải:

a) Ta có (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25 hay (x – 1)² + (y – 2)² = 5².

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V_{(A, 2)} và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

Ta có: $\overrightarrow{AI}=\left(1-3;2-5\right)=\left(-2;-3\right)$.

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(A, 2)} nên $\overrightarrow{AI\text{'}}=2\overrightarrow{AI}$

  $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}-x_A=2.\left(-2\right)\\ y_{I\text{'}}-y_A=2.\left(-3\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}-3=-4\\ y_{I\text{'}}-5=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{I\text{'}}=-1\\ y_{I\text{'}}=-1\end{array}\right.$.

Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.

c) Phương trình đường tròn (C') là (x + 1)² + (y + 1)² = 10² hay (x + 1)² + (y + 1)² = 100.