Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 1 trang 25 Toán lớp 12 Hình học: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

$\Rightarrow$HB = HC = HD nên H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (1)

Lại có: AB = AC = AD vì ABCD là tứ diện đều

$\Rightarrow$HA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

$\Rightarrow$HA ⊥ (BCD)

Vì tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác BCD ta có:

$BM=BD\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Theo tính chất trọng tâm ta có:

$$\begin{gathered} BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ =\frac{a\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AHB ta được:

$$\begin{gathered} A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2 \\ =a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2 \\ =\frac{2a^2}{3} \end{gathered}$$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là: 

$S_{BCD}=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do đó, thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}AH.S_{BCD} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\left(đvtt\right). \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₁) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H₀)...

Hoạt động 2 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₂) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₁)...

Hoạt động 3 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₂)...

Hoạt động 4 trang 24 Toán 12 Hình học: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.27) được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên...

Bài 2 trang 25 Toán 12 Hình học: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a...

Bài 3 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 4 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho khối chóp S.ABC...

Bài 5 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’...