Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 2 trang 25 Toán lớp 12 Hình học: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi khối bát diện đều là SABCDS’ cạnh a.

* Ta chia khối bát diện thành hai khối chóp tứ giác đều bằng nhau là:

S.ABCD và S’.ABCD có cạnh bằng a.

Khi đó,

V_SABCDS’ = V_S.ABCD + V_S’.ABCD 

                  = 2.V_S.ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra:

SO ⊥ (ABCD)

* Ta tính thể tính khối chóp tứ giác đều cạnh a.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên có diện tích là:

S_ABCD = a²

Ta có: 

$$\begin{gathered} AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2} \\ =\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác SOA ta có:

$$\begin{gathered} S{O}^2=S{A}^2-A{O}^2 \\ =a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow SO=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD là:

$$\begin{gathered} V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{2}}.a^2=\frac{a^3}{3\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Thể tích khối bát diện đều cạnh a là:

$$\begin{gathered} V_{SABCD{S}^{\text{'}}}=2.V_{S.ABCD} \\ =2.\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3} \left(đvtt\right). \end{gathered}$$ 

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₁) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H₀)...

Hoạt động 2 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₂) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₁)...

Hoạt động 3 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₂)...

Hoạt động 4 trang 24 Toán 12 Hình học: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.27) được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên...

Bài 1 trang 25 Toán 12 Hình học: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a...

Bài 3 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 4 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho khối chóp S.ABC...

Bài 5 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a...

Bài 6 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’...