Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 6 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài bằng b trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.

Lời giải:

Gọi h là khoảng cách hai đường thẳng d và d’, gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng d và d’.

Lần lượt vẽ hai hình bình hành BACF và ACDE.

Khi đó, ABE.CFD là hình lăng trụ tam tam giác có chiều cao h; AE = CD = b và 

$\alpha =\left\{\begin{array}{l}\widehat{BAE},\widehat{BAE}\le 90°\\ 180°-\widehat{BAE},\widehat{BAE}>90°\end{array}\right.$

Gọi S là diện tích đáy của hình lăng trụ .

Ta chia hình lăng trụ ABE.CFD thành ba hình chóp tam giác là: D.ABE, B.CFD, D.ABC. Ta có:

$$\begin{gathered} V_{D.ABE}=V_{B.CFD}=\frac{1}{3}Sh \\ \Rightarrow V_{D.ABC}=Sh-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}Sh-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}Sh=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}Sh \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}.\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}.AB.AE.\sin \widehat{BAE}.h \\ =\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 6}}abh\sin \alpha \end{gathered}$$

Do đó, thể tích khối tứ diện ABCD không đổi.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₁) thành bao nhiêu khối lập phương bằng (H₀)...

Hoạt động 2 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H₂) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₁)...

Hoạt động 3 trang 22 Toán 12 Hình học: Có thể chia (H) thành bao nhiêu khối hộp chữ nhật bằng (H₂)...

Hoạt động 4 trang 24 Toán 12 Hình học: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.27) được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên...

Bài 1 trang 25 Toán 12 Hình học: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a...

Bài 2 trang 25 Toán 12 Hình học: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a...

Bài 3 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’...

Bài 4 trang 25 Toán 12 Hình học: Cho khối chóp S.ABC...

Bài 5 trang 26 Toán 12 Hình học: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a...